Autor Tema: Fractal: problema de interpretación

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12 Octubre, 2008, 05:26 pm
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super_eman

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Hola, nos plantearon la construcción de un fractal que se llama árbol, se hace un tronco que se toma como unidad y luego dos ramas una  a la izquierda y la otra a la derecha con longitud la mitad del tronco, y de cada rama salen dos ramas más...
Luego nos hicieron tirar un dado si salia par del tronco solo hacíamos la rama derecha y si salia impar la rama izquierda y desde cada rama volvíamos a tirar el dado.
Luego nos hicieron dibujar la poligonal comenzando por el tronco y girando siempre a la derecha. (ver archivo adjunto)
Acá vienen los incisos:
a)Compruebe que la longitud hallada es finita. 
Yo aplique la formula para saber la suma de una serie geométrica con \( q=\displaystyle\frac{1}{2}  \) y el resultado es 2.
b)¿Cuántas espirales de longitud 2 se pueden dibujar?
Respondí, que se pueden dibujar dos espirales con longitud 2, uno hacia la derecha y el otro hacia la izquierda.

Desde acá para adelante me perdi no entiendo las preguntas.
c) Encontrar 4 espirales de longitud 1. ¿En el árbol, cuántas espirales de longitud ½ se pueden encontrar?
d) Si colecciona todas las espirales que pueda encontrar en el árbol se puede observar claramente, que no son de igual longitud. ¿Se puede decir que éstas ramas son réplicas una de otra, excepto por la longitud?
e)¿Cuál es la longitud de una rama completa?¿y si incluimos el tronco?
f) Escriba la sucesión generada al considerar las longitudes de las distintas ramas.

Gracias.



12 Octubre, 2008, 06:50 pm
Respuesta #1

Jabato

  • Visitante
Está claro que la longitud completa de una espiral depende de cual sea su primer elemento, ya que no todas las espirales comienzan en el tronco. Así una espiral cuyo primer elemento sea el tronco mide efectivamente 2, es válido el cálculo que hiciste, pero no es el único cálculo posible ya que para una espiral que se inicie en la primera rama su longitud será 1, si se inicia en la segunda rama su longitud será 1/2 etc. Para una espiral que se inicie en una rama de orden n (considerando el tronco la rama de orden 0) la longitud viene dada por:

\( L_n =2(1/2)^n \)

Por otra parte en la rama de orden 0 se inician 2 espirales, en ramas de orden 1 se inician 4, en ramas de orden 2 se inician 8 espirales, etc, en la ramas de orden n se inician:

\( N_n = 2^{n+1} \) 

Por lo tanto existen 8 espirales de longitud 1/2, que son las que se inician en las ramas de orden 2.

El resto de las preguntas ya están claras con esta respuesta creo, ¿no?

Saludos, Jabato.

12 Octubre, 2008, 06:52 pm
Respuesta #2

super_eman

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Muchas Gracias, Ahora me pongo a pensar  :banghead:,
saludos Jabato!!!!