Hola
Veamos:
\( ET(X,Y)=P((X,Y)=(x_1,y_1))T(x_1,y_1)+P((X,Y)=(x_2,y_1))T(x_2,y_1)+ \)
\( +P((X,Y)=(x_1,y_2))T(x_1,y_2)+P((X,Y)=(x_2,y_2))T(x_2,y_2) \) (I)
y
\( ET(Y,X)=P((X,Y)=(x_1,y_1))T(x_1,y_1)+P((Y,X)=(x_2,y_1))T(y_1,x_2)+ \)
\( +P((X,Y)=(x_1,y_2))T(y_2,x_1)+P((X,Y)=(x_2,y_2))T(y_2,x_2) \) (II)
Si se cumple que \( X \) e \( Y \) son totalmente dependientes, es decir, que:
\( P((X,Y)=(x_1,y_1))=s_1, P((X,Y)=(x_2,y_2))=s_2 \) y la probabilidade es cero en otro caso.
Entonces las expresiones anteriores quedan:
\( ET(X,Y)=s_1T(x_1,y_1)+s_2T(x_2,y_2) \)
\( ET(X,Y)=s_1T(x_2,y_2)+s_2T(x_1,y_1) \)
y así:
\( EY(X,Y)\geq ET(Y,X) \)
equivale a:
\( s_1T(x_1,y_1)+s_2T(x_2,y_2)\geq s_1T(x_2,y_2)+s_2T(x_1,y_1) \)
Por el contrario si \( X,Y \) son independientes con:
\( P(X=x_1)=P(Y=y_1)=s_1,\qquad P(X=x_2)=P(Y=y_2)=s_2 \)
Las expresiones (I) y (II) quedan:
\( ET(X,Y)=s_1^2T(x_1,y_1)+s_1s_2(T(x_1,y_2)+T(x_2,y_1))+s_2^2T(x_2,y_2) \)
\( ET(Y,X)=s_1^2T(y_1,x_1)+s_1s_2(T(y_1,x_2)+T(y_2,x_1))+s_2^2T(y_2,x_2) \)
y
\( EY(X,Y)\geq ET(Y,X) \)
NO equivale a:
\( s_1T(x_1,y_1)+s_2T(x_2,y_2)\geq s_1T(x_2,y_2)+s_2T(x_1,y_1) \)
Saludos.
