Autor Tema: Triángulos lados inradio y circunradio

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05 Octubre, 2008, 02:16 am
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Phill

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Hola- No puedo deducir la próxima fórmula para un triángulo abc cualquiera.

\( (\displaystyle\prod_{k=a}^{k=c}{a+b})=2s(s^2+r^2+2Rr) \)
R=circunradio
r=inradio
s= semiperímetro (no estoy seguro)
a,b y c= longitud de lados del triángulo abc

Nota: La multiplicación es de todas las sumas cuyos dos términos son diferentes. Creo que si no pierde el sentido.
Gracias

08 Octubre, 2008, 06:36 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Hay un camino un tanto trabajoso (y no muy geométrico), pero que creo puede funcionar.

 Las siguientes fórmulas son conocidas, ¿te suenan?:

\(  A=sr \)
 
\(  A=\dfrac{abc}{4R} \)

\( A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)

 siendo \( A \) el área del triángulo.

 Entonces si sustituimos nuestra identidad queda:

\(  (a+b)(a+c)(b+c)=2(s^3+(s-a)(s-b)(s-c)+\color{red}\xcancel{8abc}+\dfrac{abc}{2}\color{black}) \)   CORREGIDO

 Ahora hay que "remangarse" y hace cuentas.

Saludos.

10 Octubre, 2008, 02:15 am
Respuesta #2

Phill

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Gracias. Ahora uso las fórmulas y resuelvo. Disculpa que sea repetitivo pero ¿ Para darte cuenta de que la sustitucón que usaste es válida hiciste todo el desarrollo de la primera ecuación o hay algún truco? Gracias. Saludos.

10 Octubre, 2008, 09:38 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Citar
¿ Para darte cuenta de que la sustitucón que usaste es válida hiciste todo el desarrollo de la primera ecuación o hay algún truco?

No estoy seguro a que te refieres con que sea "válida" la sustitución.

Mi idea fue poner todo en función de los lados.

Las tres fórmulas del área que utilicé son conocidas: sabemos de buena tinta que son ciertas.

Entonces las susituciones que hago son aplicación directa de esas fórmulas: sin más. Combinando las dos primeras con la tercera, logro poner \( r  \) y \( R \) en función de los lados. Y luego susituyo en nuestra identidad.

Lo demás es hacer cuentas.

Y de hecho... las hice mal. Debe de quedarte comprobar la siguiente igualdad:

\(  (a+b)(a+c)(b+c)=2(s^3+(s-a)(s-b)(s-c)+\dfrac{abc}{2}) \)

Saludos.

14 Octubre, 2008, 12:51 am
Respuesta #4

Phill

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Hola. Perdona me exprese mal las fórmulas del área si las conocía, yo me refería puntualmente a la igualdad
Citar
\( (a+b)(a+c)(b+c)=2(s^3+(s-a)(s-b)(s-c)+\dfrac{abc}{2})  \)
. Si la habías obtenido desarollando el segundo término de la derecha y luego deduciendo las otras expresiones ( cómo hice yo para comprobar su validez) o si habías usado algún otro truco. Gracias. Disculpame por no haber sido claro. Saludos.

14 Octubre, 2008, 08:22 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 No, no usé ningún truco más que hacer cuentas.

Saludos.