Parte i.
Sea la muestra \( \{X_i\}_{i=1}^n \) IID con \( Pr(X>x) = \exp (-\lambda x) \). Se define \( \theta = \exp(-\lambda) \). Encuentra una expresión para el intervalo de confianza de \( \theta \) con un nivel de riesgo igual a \( \alpha \). Justifique adecuadamente su respuesta.
Parte ii.
Suponga que posee una variable aleatoria \( Y \) con distribución normal definida por:
\( f(y|w,s^2) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi s^2}}\exp\left ({-\displaystyle\frac{1}{2s^2}(y-w)^2}\right ) \)
Por otro lado, se define el coeficiente de verosimilitud como:
\( \lambda = \displaystyle\frac{f(y_1,\ldots,y_n|w_0,s^2)}{f(y_1,\ldots,y_n|w_1,s^2)} \)
Donde \( w_0 < w_1 \), son valores arbitrarios de \( w \) y las variables \( y_1,\ldots,y_n \) son independientes e idénticamente distribuidas.
Suponga que se define la combinación \( Y = aX + b \), con \( a \) y \( b \) constantes cualesquiera.
Muestre que si \( \lambda < A \) con \( A>0 \), entonces se cumple que:
\( \overline{x}>\displaystyle\frac{\theta_1 + \theta_0}{2} + \displaystyle\frac{\phi^2}{\theta_1 - \theta_2}\ln(A) \)
Donde \( \theta_i = (w_i - b) / a \) para \( i = 0,1 \) y \( \phi^2 = V(\overline{x}) \).
¿Ninguna sugerencia?
