Autor Tema: Función Logística

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29 Septiembre, 2008, 19:19
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super_eman

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Hola tengo un problema, debo entregar urgente un trabajo y no entiendo el material. Si alguien me lo puede resolver o derivar a alguna http donde me cultive con este tema.
Se trata de Función Logística, su iteración. (Un primer contacto con el caos).
Esta es la consigna, necesito su ayuda pronto :banghead:. GRACIAS ;D
Después de trabajar con \[ f(x) =\sqrt[ ]{x} \]   y \[ g(x) = x^2 \] en distintos registros, justifique las distintas cuestiones a partir de lo observado en las tablas de valores y el análisis gráfico:
a) Para \[ f(x) =\sqrt[ ]{x} \]    y un \[ x_0 \] dado:
a1) ¿Existe un valor \[ n_0 \] tal que la iteración \[ f_n_0 \] diste de 1 un valor menor a \[ 10^{-3} \]?
a2) ¿Qué sucede con estas diferencias para n > n0?

a3) ¿Puede exhibir un n finito tal que  \[ \left |{fn(x_0) - 1}\right | \] = 0?

 b) Para \[ g(x) = x^2 \]y \[ x_0 \]  =1,2:
b1) ¿Existe un valor \[ n_0 \] tal que  \[ f_n_0(x_0) \] supere a 150?
Si, existe un valor \[ n_0 \] donde \[ f_n_0(x_0) \] supera a 150 este valor es \[ n_0 \]=5.
b2) ¿Qué sucede con el valor  \[ f_n_0(x_0) \] cuando n > \[ n_0 \]?
   
b3) ¿Puede exhibir un n finito tal que \[ f_n(x_0) \] supere a un valor infinitamente grande?

Espero que algún alma caritativa se apiade de este pobre servidor.
Saludos.

01 Octubre, 2008, 06:22
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 ¿Pero has intentado algo?.

 Se trata de que experimentes con la iteración de la función:

\[  f(x)=\sqrt{x} \]

 de manera que tomes un \[ x_0 \] y luego hagas:

\[  x_n=\sqrt{x_{n-1}} \]

 En teoría, para buenos puntos iniciales, eso debiera converger a la solución de la ecuación \[ f(x)=1 \].

 ¡Experimenta! Toma una calculadora, un programa de ordenador, papel y boli, ¡lo que sea! y haz unas cuentas para ver como evolucionana los iterantes.

 En este caso en realidad es fácil ver que:

\[  x_n=x_{n-1}^{1/2}=x_{n-2}^{1/2^2}=\ldots=x_0^{1/2^n} \]

 y así para cualquier \[ x_0 \] positivo.

\[  \displaystyle\lim_{n\to \infty}{}x_n=1 \]

 Haz lo mismo para la otra función \[ g(x). \]

 Verás que en estos ejemplos, es fácil controlar en que puntos hay convergencia y en cuales no.

 Cuando trabajes con la ecuación logística propiamente dicha (\[ f(x)=rx(1-x) \]) verás que la sucesión de iterantes se hace sorprendentemente incontrolable:

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/logistica.htm

Saludos.

01 Octubre, 2008, 07:15
Respuesta #2

super_eman

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En verdad no intente nada, lo que pasa es que no tengo tiempo!!!
En Argentina los docentes somos explotados, debemos pagar por cursos donde nos enseñan conceptos que nunca vamos a utilizar en la secundaria, solo para no perder nuestro puestos de trabajos.
Bueno, eso sería tema de discusión para otro foro, uno que tenga política.
El _manco muchas Gracias por el aliento, eso era lo que necesitaba.
 Saludos.
PD: Yo sabia que podía contar contigo.

05 Octubre, 2008, 09:49
Respuesta #3

super_eman

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Hola, me puse  a iterar la función pero el inciso \[ a_3 \] no me sale como se si hay algún valor de n, yo solo se que tiende a 1.
Gracias

06 Octubre, 2008, 03:19
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 Fíjate que:

\[  |f^{n}(x_0)-1|=0\quad \Rightarrow{}\quad f^{n}(x_0)=1\quad \Rightarrow{}\quad f(f^{n-1}(x_0))=1\quad \Rightarrow{}\quad  \]

\[ \Rightarrow \sqrt{f^{n-1}(x_0)}=1\quad \Rightarrow{}\quad f^{n-1}(x_0)=1 \]

 Reiterando el argumento deducimos que:

\[  |f^{n}(x_0)-1|=0\quad \Rightarrow{}\quad f^0(x_0)=x_0=1 \]

 Por tanto solo se da \[ f^{n}(x_0)=1 \] para algún \[ n \], si el iterante inicial es \[ x_0=1 \].

Saludos.