Autor Tema: ¿De dónde proviene el nombre de norma infinita?

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20 Septiembre, 2008, 01:47 am
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Gaussito

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Mi profesor definió la norma 1 como la suma de los valores absolutos de las componentes de un vector en \( R^n \), además de la norma euclídea y la norma infinita. Inmediatamente realicé algunos cálculos y al comprobarlos con mi computadora llegué a la siguiente conclusión.

\(  \left\|{x}\right\|_1\geq{\left\|{x}\right\|_2}\geq{\left\|{x}\right\|_3}\geq{}...\geq{\left\|{x}\right\|_n} \)

donde, el \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \left\|{x}\right\|_n}=\sup\left\{{x_1,x_2,...,x_n}\right\} \)

Además, usando las siguientes definiciones para cada una de las normas:

\(  \left\|{x}\right\|_1=\left |{x_1}\right |+\left |{x_2}\right |+...+\left |{x_n}\right | \)
\(  \left\|{x}\right\|_2=\sqrt[ 2]{\left |{x_1}\right |^2+\left |{x_2}\right |^2+...+\left |{x_n}\right |^2} \)
\(  \left\|{x}\right\|_3=\sqrt[ 3]{\left |{x_1}\right |^3+\left |{x_2}\right |^3+...+\left |{x_n}\right |^3} \)...
\(  \left\|{x}\right\|_n=\sqrt[ n]{\left |{x_1}\right |^n+\left |{x_2}\right |^n+...+\left |{x_n}\right |^n} \)

Me preguntaba si el nombre de norma infinita proviene de estos razonamientos y si no es así, díganme en qué me equivoco.

Saludos

20 Septiembre, 2008, 02:07 am
Respuesta #1

Don Equis

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Puede que la etimología provenga de algo similar, pero fíjate que estás considerando que la dimensión del espacio es \( n \) a la par con los exponentes. Sería bueno que escribieras:

\(  \left\|{x}\right\|_n=\sqrt[ n]{\left |{x_1}\right |^n+\left |{x_2}\right |^n+\cdots+\left |{x_m}\right |^n} \)

O algo similar. También te permitirá demostrar que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[ n]{\left |{x_1}\right |^n+\left |{x_2}\right |^n+\cdots+\left |{x_m}\right |^n}} = \sup\{x_1,x_2,\ldots ,x_m\} \) que es al fin y al cabo parte de lo que te interesa.
I believe a leaf of grass is no less than the journey-work of the stars.

 \( e^{i\pi}+1=0 \)

20 Septiembre, 2008, 02:11 am
Respuesta #2

Gaussito

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Gracias, por la corrección, se me pasó ese detalle tan importante.

Aunque te debo aclarar que es la primera vez que escribo utilizando formulas, siempre trate de evadirlas en mis comentarios, pero en esta ocasión me vi oblegado a usarlas.

De todas maneras gracias.

Saludos

20 Septiembre, 2008, 11:50 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 En el siguiente gráfico puedes "visualizar" el porqué del nombre.


 Están representadas las bolas unitarias con las normas \( \|\cdot\|_p \).

 En particular en azul estan los límites de la bola abierta con la norma \( \|\cdot\|_1 \) y en rojo los de la bola correspondientes a la norma \( \|\cdot\|_\infty \).

 Al aumentar \( p \) las bolas se parecen cada vez más a las de la norma infinito.

Saludos.

21 Septiembre, 2008, 07:14 pm
Respuesta #4

Gaussito

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El_manco, quisiera que dijeras si las normas que graficaste tienen relación con las que yo definí, además si hay una formas sencilla de resolver el límite que plateó Don equis.

21 Septiembre, 2008, 07:58 pm
Respuesta #5

EnRlquE

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Hola.

 Efectivamente, como lo menciona el_manco, el gráfico muestra las bolas unitarias (para el caso de dimensión dos) correspondientes a los distintos valores de \( p \), por ejemplo

  • Para \( p=1 \), se muestra la gráfica de la bola unitaria correspondiente a la norma \( \|x\|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}| \)

  • Para \( p=2 \), se muestra la gráfica de la bola unitaria correspondiente a la norma \( \|x\|_{2}=\sqrt{|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}} \)

  • Para \( p=3 \), se muestra la gráfica de la bola unitaria correspondiente a la norma \( \|x\|_{3}=\sqrt[3]{|x_{1}|^{3}+|x_{2}|^{3}} \)

  • Etcétera...

 Para demostrar que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} {\sqrt[ n]{\left |{x_1}\right |^n+\left |{x_2}\right |^n+...+\left |{x_m}\right |^n}} =\max\{|x_1|,|x_2|,...,|x_m|\} \) (ojo con los valores absolutos de los \( x_{i} \)) puedes tomar primero el caso \( m=2 \) (solo para simplificar notaciones y fijar ideas) y observar que si por ejemplo \( |b|=\max\{|a|,|b|\} \) se tiene que

\( \sqrt[n]{|a|^{n}+|b|^{n}}=|b|\sqrt[n]{\left({\dfrac{|a|}{|b|}}\right)^{n}+1} \)

 Ahora analiza lo que ocurre cuando \( n\to\infty \).

Saludos.

21 Septiembre, 2008, 08:02 pm
Respuesta #6

Gaussito

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Gracias Braguildur, por consejos como ese es que me suscribí a esta página.

Saludos

22 Septiembre, 2008, 12:33 am
Respuesta #7

Don Equis

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Recuerda que los límites del tipo \( 1^0 \) y \( 1^\infty \) son indeterminados. Puedes acotarlo planteando:

(límite) \( \sqrt[n]{\max\{x_1;x_2;x_3;...;x_m\}^n}\leq{} \left\|{X}\right\|_n \leq{} \sqrt[n]{m\times{}\max\{x_1;x_2;x_3;...;x_m\}^n} \)

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