1. Es fácil imaginarse un lenguaje en el que no haya forma interrogativa ni forma imperativa, sino que la pregunta y la orden se expresen en forma enunciativa, por ejemplo, en formas correspondientes a nuestra: "me gustaría saber si..." y "mi deseo es que...".
Nadie diría de una pregunta (por ejemplo, respecto a si llueve fuera) que es verdadera o falsa. Pero, ciertamente, en castellano se dice eso de una proposición como "desearía saber si...". ¿Y si se empleara siempre esa forma en lugar de la interrogación?
2. La gran mayoría de las proposiciones que decimos, escribimos o leemos son proposiciones enunciativas.
Y -dices- estas proposiciones son verdaderas o falsas. O, como yo podría decir también, con ellas se juega al juego de las funciones de verdad. Pues el aserto no es algo que se añada a la proposición, sino un rasgo esencial del juego que jugamos con ella. Comparable, digamos, a lo característico del ajedrez, que hay en él un ganar y un perder y que gana quien como al otro el rey. Ciertamente podría haber un juego muy parecido, en determinado sentido, al ajedrez, un juego que consistiera en realizar los movimientos del ajedrez pero sin que hubiera en ello un ganar y un perder, o las condiciones del ganar fueran otras.
3. Imagina que alguien dice: una orden se compone de una propuesta ('suposición') y del ordenar lo propuesto.
4. ¿No podría ejercerse la aritmética sin que se le ocurriera a uno la idea de pronunciar proposiciones aritméticas y sin que advirtiéramos jamás la semejanza de una multiplicación con una proposición?
Pero ¿no menearíamos la cabeza cuando alguien nos mostrara una multiplicación mal hecha, como lo hacemos cuando alguien nos dice que llueve cuando no llueve? - Sí; y aquí hay un punto de conexión. Pero también hacemos gestos recriminantes cuando, por ejemplo, nuestro perro no se comporta como queremos.
Estamos acostumbrados a decir "2 por dos son 4" y el verbo "son" hace de ello una proposición y establece aparentemente un parentesco próximo con todo lo que llamamos 'proposición'. Mientras que se trata sólo de una relación muy superficial.
5. ¿Hay proposiciones verdaderas en el sistema de Russell, que no pueden ser demostradas en él? - ¿A qué se llama, entonces, proposición verdadera en el sistema de Russell?
6. ¿Qué significa, pues, que una proposición 'es verdadera'? 'p' es verdadera = p (Esta es la respuesta.)
Así pues, nos gustaría preguntar: ¿bajo qué circunstancias se afirma una proposición? O: ¿cómo se usa en el juego de lenguaje la afirmación de una proposición? Y la 'afirmación de una proposición' es aquí algo opuesto a la pronunciación de una proposición como ejercicio práctico de lenguaje, por ejemplo, o como parte de otra proposición, o cosas semejantes.
Por tanto, si se pregunta en este sentido: "¿Bajo qué circunstancias se afirma una proposición en el juego de Russell?", la respuesta es: Al final de una de sus demostraciones, o como 'ley fundamental' (Pp.). No hay otro modo de usar en este sistema proposiciones enunciativas del simbolismo de Russell.
7. Pero ¿no puede haber proposiciones verdaderas, que estén escritas en ese simbolismo, pero que no sean demostrables en el sistema de Russell?" - 'Proposiciones verdaderas' son, pues, proposiciones que son verdaderas en otro sistema, es decir, que pueden ser afirmadas con derecho en otro juego. Ciertamente, ¿por qué no puede haber proposiciones así? O más bien: ¿por qué no han de escribirse proposiciones -de física, por ejemplo- en el simbolismo de Russell? La pregunta es del todo análoga a ésta: ¿Puede haber proposiciones verdaderas en el lenguaje de Euclides, que no sean demostrables en su sistema, pero sean verdaderas? - Pero hay incluso proposiciones que son demostrables en el sistema de Euclides pero falsas en otro sistema. ¿No puede haber triángulos -en otro sistema- que sean semejantes (muy semejantes) sin tener ángulos iguales? - "¡Pero esto es una broma! ¡Puesto que en ese caso no son 'semejantes' en el mismo sentido!". - Ciertamente no; y una proposición que no puede demostrarse en el sistema de Russell es 'verdadera' o 'falsa' en otro sentido que una proposición de los Principia Mathematica.
8. Me imagino que alguien me pidiera consejo; dice: "He construido una proposición (la designaré por 'P') en el simbolismo de Russell y mediante ciertas definiciones y transformaciones se la puede interpretar de modo que diga: 'P no es demostrable en el sistema de Russell'. ¿No he de decir ahora de esa proposición que, por una parte, es verdadera, mientras que, por otra, es indemostrable? Pues, suponiendo que fuera falsa, ¡entonces es verdad que es demostrable! Y esto no puede ser. Y si está demostrada, entonces está demostrado que ella no es demostrable. De modo que no puede ser más que verdadera pero indemostrable".
Igual que preguntamos: "¿en qué sistema 'demostrable'?", hemos también de preguntar: "¿en qué sistema 'verdadera'?". 'Verdadera en el sistema de Russell' significa, como se ha dicho: demostrada en el sistema de Russell; y 'falsa en el sistema de Russell' quiere decir: lo contrario está demostrado en el sistema de Russell. - ¿Qué significa ahora tu: "supuesto que sea falsa"? En el sentido de Russell significa: 'supuesto que en el sistema de Russell esté demostrado lo contrario'; si ésta es tu suposición, renunciarás ahora a tu interpretación de que es indemostrable. Y bajo 'esa interpretación' entiendo la traducción a esa proposición castellana. - Si supones que la proposición es demostrable en el sistema de Russel, entonces es verdadera en el sentido de Russell y hay que volver a rechazar la interpretación "P no es demostrable". Si supones que la proposición es verdadera en el sentido de Russell, entonces se sigue lo mismo. También: no contradice que la proposición sea falsa, en otro sentido que en el de Russell, el que esté demostrada en el sistema de Russell. (Lo que en el ajedrez significa "perder", puede ser en otro juego ganar).
9. ¿Qué significa, pues, P y "P es indemostrable" son la misma proposición? Significa que esas dos proposiciones castellanas tienen una expresión en tal y tal notación.
10. "Pero P no puede ser demostrable, puesto que, suponiendo que estuviera demostrada, estaría demostrada la proposición que dice de ella que no es demostrable". Pero si ello estuviera demostrado, o si yo creyera -quizá por error- que lo había demostrado, ¿por qué no había de dejar valer la demostración y decir que tenía que volver a retirar mi interpretación de "indemostrable"?
L. Wittgenstein. Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. Parte I. Apéndice III.
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