Autor Tema: Solución mes de julio

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17 Agosto, 2003, 11:56 am
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sofista

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a) Incurriremos en el común abuso de notación de llamar 0 tanto al neutro
de la suma de K como al vector nulo.

Sabemos que para cada vector v existe un vector v' tal que v + v' = v' + v = 0.

Los siguientes hechos pueden ser demostrados sin recurrir a la conmutatividad
de la suma:

1) Para cada v, el vector v' es único.
2) (v + w)' = w' + v'
3) (v')' = v
4) 0v = 0

-1 es el opuesto de 1 en K, por el axioma correspondiente sabemos que
1 + (-1) = (-1) + 1 = 0

Observemos que:

(1 + (-1))v = 1v + (-1)v = v + (-1)v
((-1) + 1)v = (-1)v + 1v = (-1)v + v

(1 + (-1))v = ((-1) + 1)v = 0v = 0

De la unicidad de v' se deduce que (-1)v = v'

En consecuencia:

v + w = (w' + v')' = (-1)(w' + v') = (-1)w' + (-1)v' = (w')' + (v')' = w + v

Es decir:

v + w = w + v

Nótese que la demostración no depende de la conmutatividad de la suma de los
escalares.

b) La estructura es la de cuerpo. Pensando a K como K espacio vectorial,
dado que la demostración anterior no usa la conmutatividad de los escalares,
esa misma demostración prueba que la suma en K es conmutativa (de hecho, los únicos
axiomas que se usarían en esta demostración son la existencia de neutro e
inverso, la propiedad distributiva a izquierda y la existencia de neurto para
el producto).

Saludos,

Sofista