Autor Tema: Dominio de función de 2 variables

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13 Agosto, 2008, 06:17 pm
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Leonardog

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Hola, tengo el siguiente ejercicio:
\( z=f(x;y)=\sqrt{1-x-e^x/y} \)
Tengo que hallar y graficar el dominio.
Planteando
\( 1-x-e^x/y \geq {0} \)
Llego a:
\( y \geq{\displaystyle\frac{x}{ln(1-x)}} \)
Sin embargo, para \( x=0 \) tambien es parte del dominio.
Como deberia plantearse?
Salu2,
Hey, no le avisen a Bush que está usando números arábigos!!

13 Agosto, 2008, 08:12 pm
Respuesta #1

Jabato

  • Visitante
Parece que tienes algun error al manejar expresiones algebraicas, ya que te vas dejando soluciones por el camino, veamos:

\( z=f(x;y)=\sqrt[ ]{1-x-e^x/y} \)

que obliga para que la función exista a que:

\( 1-x-e^x/y\geq{0} \)

pero para poder despejar y en esa inecuación debemos tener en cuenta su signo, ya que dependiendo de cual sea ese signo el sentido de la inecuación debe cambiar. El valor de y nulo hace inexistente la función por lo que no lo consideraré ahora.

1º Supongamos que y sea positivo:

\( y(1-x)-e^x\geq{}0 \)            \( y\geq{}\displaystyle\frac{e^x}{1-x} \)

2º Supongamos que y sea negativo:

\( y(1-x)-e^x\leq{}0 \)            \( y\leq{}\displaystyle\frac{e^x}{1-x} \)

3º En el caso de que \( x = 1 \) basta con que y sea negativo

ecuaciones que determinan el dominio de z, y que si te molestas en representar graficamente verás que se reduce a todo el plano XY excepción hecha de la región delimitada por el eje X y la curva (los puntos de la curva pertenecen al dominio de z, los del eje X no pertenecen):

\( y=\displaystyle\frac{e^x}{1-x} \)

debiendo excluirse también el semieje positivo de su asíntota vertical.

Puedes verificar que el dominio incluye la mayor parte del eje Y, es decir existen puntos en el dominio en que \( x=0 \) como era de esperar.

Saludos, Jabato.

14 Agosto, 2008, 11:52 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Intuyo que Leonardog quería escribir esta función:

\(  f(x,y)=\sqrt{1-x-e^{x/y}} \)

 Entonces al plantear que:

 \( 1-x-e^{x/y}\geq 0 \)

 llegas a:

 \( \dfrac{x}{y}\leq Ln(1-x) \)

 Ahora al quitar denominadores sigue las recomedaciones que te dio Jabato.

 i) Si \( y>0 \) tienes:

 \( x\leq Ln(1-x)y \)

 Y ahora distingue si \( Ln(1-x) \) es positivo, negativo o nulo:

 i.1) Si \( Ln(1-x)<0 \) (equivalentemente \( 0<x<1 \)) te queda:

 \( y\leq \dfrac{x}{Ln(1-x)} \).

 i.2) Si \( Ln(1-x)=0 \) (equivalentemente \( x=0 \)) te queda:

 \( 0\leq 0 \). (se cumple para cualquier valor de \( y \)).

 i.3) Si \( Ln(1-x)>0 \) (equivalentemente \( x<0 \)) te queda:

 \( y\geq \dfrac{x}{Ln(1-x)} \).

 ii) Si \( y<0 \) hazlo tu (recuerda que al multiplicar ambos términos de la ecuación por un número negativo se invierte el sentido de la inecuación).

Saludos.

14 Agosto, 2008, 01:11 pm
Respuesta #3

Leonardog

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Gracias por las respuestas, las analizaré mas detenidamente luego en casa.
Efectivamente el ejercicio estaba mal escrito, está bien la corrección de el_manco. El post lo hice desde un lugar donde la conectividad era muy mala, y no pude corregirlo.
Saludos,
Hey, no le avisen a Bush que está usando números arábigos!!