Autor Tema: Escalera del diablo II

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03 Agosto, 2008, 15:59
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Héctor Manuel

  • Lathi
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Hola amigos del foro.  A cerca de la función de Cantor, tengo la siguiente duda:

La definición que conozco es:  sea \[ x\in{[0,1]} \] tal que \[ x=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}} \] con \[ a_{n}\in{\left\{{0,1,2}\right\}} \] (x se escribe en notación en base 3).

Sea \[ m(x)=min\left\{{n\in{\mathbb{N}}:a_n=1}\right\} \] si existe y \[ m(x)=\infty \] en caso contrario.

Entonces la función de Cantor se define como \[ G:[0,1]\longrightarrow{\mathbb{R}} \] tal que
\[ G(x)=\displaystyle\frac{1}{2^{m(x)}}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{m(x)-1}{\displaystyle\frac{a_n}{2^n}} \].  La pregunta es:

¿cómo se puede demostrar que la imagen G(x) de toda x es independiente de la expansión trinaria de x que se escoja si es que x tiene dos expansiones diferentes? 

Es decir, si \[ x=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}} \]y \[ x=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{b_{n}}{3^n}} \] con \[ a_n,b_n\in{\left\{{0,1,2}\right\}} \] y algún \[ a_j\neq{b_j} \], por qué se tiene que G(x) sigue valiendo lo mismo.

Saludos y como siempre gracias.

04 Agosto, 2008, 16:49
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Utiliza que los únicos números con dos expansiones trinarias distintas son racionales no períodicos. Son de la forma:

 \[ x=0.a_1\ldots a_n222222222222\dots =0.a_1\ldots a_n+0.\underbrace{0\ldots 01}_n \]

Saludos.