Autor Tema: Definición de geometría

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18 Julio, 2008, 12:42 am
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incógnita_j

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En un proyecto futuro (más futuro que proyecto), tengo pensando escribir unas cosillas a propósito de la geometría de manera que sea un manual cómodo y completo que formalice de una forma general lo que es la geometría. Para ello, un esquema de lo que me gustaría tratar sería el siguiente:
1-Exposición y construcción de la geometría a partir del sistema axiomático.
2-Exposición y construcción de la geometría a partir del álgebra lineal.
3-Demostrar que, en realidad, 1 y 2 son la misma cosa y nada más ni menos.
4,5,6-Idem con la geometría proyectiva.
7- Caracterizar la geometría afín, euclídea y proyectiva en términos de álgebra (grupo que actúa sobre un conjunto y deja invariantes un cierto tipo de subconjunto). Aprovechar para tratar otras geometrías que sean curiosas. (¿Sabe alguien de alguno de estos ejemplos?). Y así, acabar definiendo lo que sería una geometría de forma que fuese formulable simplemente en términos de álgebra de grupos.

Así, me gustaría saber si efectivamente la siguiente definición de geometría sería correcta o podría perfilarse más aún:

Sea \( T \) un conjunto, y sea \( H\in{\P(T)} \) de manera que \( H \) cumpla una propiedad \( R \).
Una geometría es un Grupo \( G \) de aplicaciones tales que \( \forall{g\in{G}} \), \( g(H) \) verifica \( R \).
Parece que por allí van los tiros, pero no sé terminar de perfilarlo, porque en el caso de la geometría euclídea ya no hay un subconjunto que preserva su estructura sino una aplicación bilineal que resulta invariante... No termino de entender....
Siempre nos quedará hablar con los números y descubrir algún nuevo secreto.

18 Julio, 2008, 01:41 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 La idea de enteder la geometría como conjunto de objetos y propiedades invariantes por transformaciones fue enunciada por Klein. Puedes leer algo al respecto aquí:

Felix Klein y el estudio de la geometría.

El programa de Erlanger.

Geometry as the study of invariants under certain transformations.

 Un ejemplo concreto de como en un mismo conjunto estudiar uno u otro grupo de transformaciones nos lleva a una u otra geometría.

 Consideramos el cociente \( P=P(R^3)=R^3-\{\vec 0\}/\sim \) con la relación de equivalencia \( (x,y,z)\sim (x',y',z') \) si \( (x',y',z')=\lambda(x,y,z) \) (lo típico que se hace para construir el plano proyectivo).

 Sobre ese conjunto (una superficie) podemos considerar actuando  los siguientes subgrupos del grupo general lineal de matrices

\( Gl(3,R)=\{A\in M_{3\times 3}(R)|det(A)\neq 0\} \):

 1) \( G_1=Gl(3,R) \).
 2) \( G_2=\{A\in Gl(3,R)|AA^t=Id\} \) (grupo ortogonal).
 3) \( G_3=\{A\in Gl(3,R)|a_{13}=a_{23}=0\} \) (grupo afín).
 4) \( G_4=\{A\in G_2|a_{13}=a_{23}=0\} \) (grupo de isometrías).
 5) \( G_5=\{A\in Gl(3,R)|a_{13}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\} \).
 6) \( G_6=\{A\in G_2|a_{13}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\} \).

 En realidad en sentido riguroso dado que trabajamos en un cociente de \( R^3 \), debemos de tomar los cocientes de esos subgrupos que identifican matrices proporcionales. Pero eso es lo de menos...

 Identifica para cada uno de ellos a que geometría corresponden.

Saludos.

21 Julio, 2008, 04:23 pm
Respuesta #2

incógnita_j

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Sí, es más a menos lo que dejó caer nuestro profesor de geometría, pero lo que intento ver si basta el subgrupo para definir una geometría. ¿Es decir, no hace falta definir nada más en el plano proyectivo? Respondiendo a tu pregunta:
1) Geometría proyectiva. Mantiene variedades lineales, que son los subconjuntos por excelencia de los espacios vectoriales que pasan por la relación de equivalencia.
2) ¿Existe una geometría "métrica" proyectiva? EN ese caso, ¿cómo se define la distancia algebraicamente?
3) Geometría afín. Mantiene variedades lineales, que se construyen mediante una aplicación estructural.
4) Geometría métrica. Mantiene un conjunto de relaciones entre las cosas que se definen a partir de un cierto producto escalar. Es decir, teniendo el subgrupo ¿tenemos definida la geometría? En otras palabras ¿es "lo mismo" \( G_2 \) hablando mal, y un producto escalar?.
5, 6) Está claro que son geometrías particulares, pero así no veo cuales son.

Quizás estoy mezclando muchas cosas, lo siento. Pero sigo sin ver por qué nos basta el subgrupo y no hablar de cierta propiedad, aplicación, o lo que sea...

De nuevo, gracias el_manco.
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22 Julio, 2008, 10:17 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

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2) ¿Existe una geometría "métrica" proyectiva? EN ese caso, ¿cómo se define la distancia algebraicamente?

Si. Podemos dotar al plano proyectivo de una métrica de la siguiente forma. El plano proyectivo puede constuirse como el cociente de la esfera identificando puntos antipodales. De esta forma esfera unidad y plano proyectivo son localmente isométicos y la métrica usual en la primera nos induce una métrica en el segundo. Como las transformaciones ortogonales de \( R^3 \) dejan invariante la esfera unidad, el grupo \( G_2 \) actuando sobre el plano proyectivo nos conserva la métrica inducida.

5) Fíjate que de entre todas las afinidades no estamos quedando con aquellas en las que no hay traslación. Entonces lo que nos quedan son simplemente automorfismos del espacio vectorial \( R^2 \) (no movemos el origen).

6) Igual que en (5) pero ahora sólo nos quedamos con las transformaciones ortogonales de \( R^2 \). Estamos estudiando el espacio vectorial euclídeo \( R^2 \).

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Quizás estoy mezclando muchas cosas, lo siento. Pero sigo sin ver por qué nos basta el subgrupo y no hablar de cierta propiedad, aplicación, o lo que sea...

Fíjate que la filosofía de este enfoque no es estudiar sólo subconjuntos invariantes por el grupo de transformaciones sino también y sobre todo las propiedades que se conservan por las transformaciones elegidas.

Además no se trata de fijar el grupo y a partir de ahí, de manera automática, tener las "definiciones" de recta, plano, punto, distancia, ángulo o lo que sea. NO. No es esa la idea. Uno tiene que "currarse" que propiedades van a ser interesantes o no para cada geometría en el siguiente sentido:

Uno fija el grupo de transformaciones y eso nos va a servir como norma para juzgar si este o aquel objeto o propiedad que se nos ocurra estudiar entra dentro del estudio de la geometría que tenemos, en la medida que se nos conserve por nuestras transformaciones.


Podemos definir muchas métricas distintas en el plano afín o en en el plano proyectivo. Pero si fijamos como grupo el ortogonal sólo nos interesarán aquellas que se conserven por éste. Eso no quiere decir necesariamente que las métricas queden determinadas de manera unívoca.

Por ejemplo si trabajamos con el grupo ortogonal \( G_2 \) hay muchas métricas que se conservan por él. En la construcción que expliqué más arriba basta por ejemplo trabajar con la esfera de radio \( 2 \) en lugar de la esfera de radio \( 1 \).

En el plano afín y con fijado el grupo de isométrias ocurre exactamente lo mismo. Cualquier "múltiplo" de la métrica usual se conserva por esas isometrías (son las únicas métricas que se conservan, de hecho).

Saludos.

22 Julio, 2008, 02:16 pm
Respuesta #4

incógnita_j

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Todo mucho más claro. Muchas gracias. Sin embargo, me quedan algunas dudas:

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Si. Podemos dotar al plano proyectivo de una métrica de la siguiente forma. El plano proyectivo puede constuirse como el cociente de la esfera identificando puntos antipodales. De esta forma esfera unidad y plano proyectivo son localmente isométicos y la métrica usual en la primera nos induce una métrica en el segundo. Como las transformaciones ortogonales de  dejan invariante la esfera unidad, el grupo  actuando sobre el plano proyectivo nos conserva la métrica inducida.

Cuando hablas de la métrica usual ¿te refieres a la métrica de la esfera considerada como subespacio topológico de \( \mathbb{R}^3 \)? ¿Cómo pasa al cociente? Aunque he dado topología este año, no sé muy bien como se comportan los espacios métricos al pasar a cocientes y cual es la manera de visualizar esto...

5,6) Vamos, que es estudiar el espacio vectorial o el espacio vectorial euclídeo que están asociados al espacio afín o espacio afín euclídeo.

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Uno fija el grupo de transformaciones y eso nos va a servir como norma para juzgar si este o aquel objeto o propiedad que se nos ocurra estudiar entra dentro del estudio de la geometría que tenemos, en la medida que se nos conserve por nuestras transformaciones.

Entendido. Es lo que pensaba al principio, sólo que las propiedades geométricas no están fijadas a priori sino a posteriori. Lo que pasa es que me gustaría ir más lejos. Es decir, que independientemente de la geometría, estas propiedades se pudiesen resumir en un ente matemático más general, que hubiese que encontrarlo, si, pero que habiéndolo encontrado, todas las propiedades pudiesen salir paralelamente. ¿Me explico?

Muchas gracias por el interés.
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23 Julio, 2008, 10:13 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Cuando hablas de la métrica usual ¿te refieres a la métrica de la esfera considerada como subespacio topológico de \( \mathbb{R}^3 \)? ¿Cómo pasa al cociente? Aunque he dado topología este año, no sé muy bien como se comportan los espacios métricos al pasar a cocientes y cual es la manera de visualizar esto...

No. Me refiero a la métrica de la esfera como subvariedad diferenciable de \( R^3 \). No sé si has estudiado geometría diferencial. En cada punto de la esfera está definida la primera forma fundamental que equivale a dar un determinado producto escalar en el plano tangente en ese punto. Este producto escalar nos permite medir longitudes de curvas. Luego fijados dos puntos podemos tomar la menor de las longitudes de las curvas que los unen como distancia entre ellos. Eso nos define una métrica.

En el caso de la esfera sabemos que las curvas de longtiud mínima (geodésicas) son los meridianos.

Ahora bien, para pasar al plano proyectivo identificamos puntos antipodales. Pero localmente, dado un punto de la esfera si tomamos un entorno pequeño no habrá ningún antipodal en él y por tanto ese "trocito" de esfera y de plano proyectivo serán "idénticos". De esta forma la primera forma fundamental de uno "pasa" al otro.

Incluso directamente dada la distancia en la esfera, podemos calcular la distancia en el plano proyectivo de la siguiente forma. Dados dos puntos distintos del plano proyectivo, "vienen" cada uno de ellos de dos puntos no antipodales de la esfera. Tomamos los dos más cercanos, medimos su distancia en la esfera y esa será su distancia en el plano proyectivo.

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Entendido. Es lo que pensaba al principio, sólo que las propiedades geométricas no están fijadas a priori sino a posteriori. Lo que pasa es que me gustaría ir más lejos. Es decir, que independientemente de la geometría, estas propiedades se pudiesen resumir en un ente matemático más general, que hubiese que encontrarlo, si, pero que habiéndolo encontrado, todas las propiedades pudiesen salir paralelamente. ¿Me explico?

No estoy seguro de entender totalmente lo que prentedes. Pero me suena difícil. Digamos que aun ahora nada nos asegura que en algo tan "trillado" como la geometría euclídea no haya propiedades, objetos o teoremas interesantes que no hayan sido enunciados, pensados o seleccionados.

Saludos.

23 Julio, 2008, 10:15 pm
Respuesta #6

incógnita_j

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Ufff, ufff y ufff. Lo siento pero la distancia en el plano proyectivo se me escapa... No he dado geometría diferencial, pero en ampliación de física si que hemos hablado de métricas que "dependen" del punto. No sé si eso es a lo que quieres llegar. No obstante, si intuitivamente te refieres a la distancia sobre la superficie de la esfera (mínima distancia de todas las posibles sobre un camino de la variedad) me aclaro más o menos. Pero, en términos de geometría lineal proyectiva. Supongamos que tenemos dos puntos, \( [\vec{v}] \) y  \( [\vec{w}] \).´¿Cómo podría definir la distancia entre esos dos puntos sin pasar por la representación del espacio proyectivo que tú indicas? O aunque sea pasando por ella, el caso es que la operativa para construirla me da la impresión de que es de GD y no creo que sepa como sacarlo.

Respecto a mi otro punto, concretando. Supongamos que tenemos un subgrupo \( G \) que actúa sobre el conjunto de base. Lo que me gustaría es ver si se puede hacer lo siguiente (que señalo por simple generalización de las geometrías que conozco):
Encontrar una aplicación \( \phi: T\times{T} \longrightarrow{E} \)
donde \( E \) es o un espacio vectorial o un cuerpo ( o quizás una estructura). De forma que:
\( \phi(t,t) = \phi(g(t),g(t))  \)  \( \forall{g}\in{G} \)
En el caso de la geometría afín es la aplicación estructural, en el caso de la métrica es el producto escalar compuesto con la aplicación estructural, en el caso de la geometría proyectiva no sé...
Y luego definir todos los elementos destacables a partir de \( \phi \): razones dobles o simples, variedades lineales, concurrencia, distancias, ángulos y construir al unísono.
Si \( E \), es espacio vectorial es una geometría vectorial, de incidencias, sino es real, métrica...

Admito que todo esto lo estoy enunciando sin ningún tipo de fundamento, sino que es casi lo primero que se me viene a la cabeza.
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24 Julio, 2008, 09:11 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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 No sé si vale la pena hacer obtener una expresión explícita de la métrica que te estoy dando. Pero el procedimiento sería el siguiente:

 Tomas dos puntos \( P=[x_0:x_1:x_2]  \) y \( Q=[y_0:y_1:y_2] \) del plano proyectivo.

 Los llevas como puntos de \( R^3 \) sobre la esfera unidad:

\(  u=\dfrac{(x_0,x_1,x_2)}{\|(x_0,x_1,x_2)\|}, v= P\dfrac{(y_0,y_1,y_2)}{\|(y_0,y_1,y_2)\|} \)

 la distancia entre ambos es la longitud del trozo de meridiano que los contiene en la esfera. Esta puede calcularse multiplicando el ángulo que forma por el radio (en este caso 1). Queda:

 \( d(P,Q)=|arcos(u\cdot v)| \)

 En fin no es más que el ángulo que forman las rectas determinandas por las coordenadas homogéneas de los puntos. Hasta que escribí esto no había caído.  :P

 En cuanto a tu segundo comentario, no creo que sea posible hacer lo que dices. Del grupo de transformaciones no se sigue de manera natural ninguna apliación asociada como las que describes.

Saludos.

25 Julio, 2008, 01:56 am
Respuesta #8

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Desde luego. Así encaja. La lógica manera de "medir" distancias en un plano que ves desde fuera (fijando la inclinación, es decir, el punto unidad) es midiendo el ángulo que triangulas desde tu ojo... Además, a pesar de que des los puntos del proyectivo en coordenadas, la definición que das es intrínseca ¿no?¿Merece la pena estudiar esta distancia o no? Al no venir necesariamente de una norma parece un poco sin fundamento pero nunca se sabe.

Respecto a lo segundo, creo que aún no me has terminado de entender.
No me refiero a que el subgrupo determine una aplicación precisa, sino una clase de aplicación dada pero que tenga un cierto patrón de estructura... ¿Mejor así? Quizás sigue siendo imposible, pero es mi sueño utópico utópico del todo jajaja.
Muchas gracias por la atención por enésima vez  :P.
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25 Julio, 2008, 10:33 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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¿Merece la pena estudiar esta distancia o no? Al no venir necesariamente de una norma parece un poco sin fundamento pero nunca se sabe?

Bueno cuidado. En la mayor parte de los contextos no tenemos normas, porque no estamos en un espacio vectorial. Las famosísimas geometrías esféricas, hiperbólicas y parabólicas estudian distancias que no provienen (directamente al menos) de ninguna norma.

Entonces dependiendo del contexto si tienen interés, y mucho.

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Respecto a lo segundo, creo que aún no me has terminado de entender.
No me refiero a que el subgrupo determine una aplicación precisa, sino una clase de aplicación dada pero que tenga un cierto patrón de estructura... ¿Mejor así? Quizás sigue siendo imposible, pero es mi sueño utópico utópico del todo jajaja.

Upsss... lo siento. No logro captar de todo tu idea. Pero de momento no me viene nada más al respecto a la cabeza.  :(

Saludos.