[Mburucuya]

Buenas noches, ¿todo bien? Quería pedir ayuda con el siguiente ejercicio.

Sea V un espacio vectorial real tal que \( dim(V)=n \) y sean \( T,\,S: V\rightarrow{\mathbb{R}} \) dos transformaciones lineales. Probar que si \( ker\,T = ker\,S \Longrightarrow{\exists{\,\alpha}\in{\mathbb{R}}}:T=\alpha S \)

Lo primero que hice fue agarrar dos vectores \( v,\,u \) arbitrarios en V y escribirlos en el kernel de T y S respectivamente usando la definición. Luego, asumiendo que \( ker\,T = ker\,S \) se cumple, desarrollé en base a lo que tenía antes.

\( T(v) = S(u) \)
\( T(v_1)+T(v_2)+\ldots+T(v_n)=S(u_1)+S(u_2)+\ldots+S(u_n) \)
\( T(v_1)+T(v_2)+\ldots+T(v_n)-(S(u_1)+S(u_2)+\ldots+S(u_n))=0 \)

Y hasta ahí llegué, no sé si está bien y tampoco cómo llegar a que T es combinación lineal de S. Me gustaría alguna pista de cómo seguir o qué tomar para concluir la prueba.

Saludos!

[Mburucuya]

Buenas sí, me faltó aclarar que la dimensión de \( V \) es n. No sabía que no podría cumplirse en otro caso, ahí lo agrego al primer post

[Mburucuya]

¿Cuándo sería verdadera entonces? en el repartido de ejercicios está formulado de esa forma y en realidad te pide probar un sí solo sí, elegí escribir únicamente la \( (\Rightarrow{)} \) para después ver la otra por mi cuenta. Me hicieron la cama.

[Mburucuya]

voy a probar escribir la demo con esa data entonces, gracias !!1

[feriva]

es cierta cuando \( dim(ker T)=n-1 \) . porque tomas una base de \( Ker T \) la completas y solo te falta un vector para completar.
si es menor, necesitas dimensión \( 2 \)  o más, y ahí ya tenes más libertad y deja de ser cierta

Hola.

Creo que no hay ese problema, las transformaciones son análogas a un producto escalar, acaban en una dimensión, en un número (T,S flechita a R sin exponente, luego es sólo una coordenada) que o bien es cero o bien es cualquier número real.

Saludos.

[feriva]

Buenas noches, ¿todo bien? Quería pedir ayuda con el siguiente ejercicio.

Sea V un espacio vectorial real tal que \( dim(V)=n \) y sean \( T,\,S: V\rightarrow{\mathbb{R}} \) dos transformaciones lineales. Probar que si \( ker\,T = ker\,S \Longrightarrow{\exists{\,\alpha}\in{\mathbb{R}}}:T=\alpha S \)

Lo primero que hice fue agarrar dos vectores \( v,\,u \) arbitrarios en V y escribirlos en el kernel de T y S respectivamente usando la definición. Luego, asumiendo que \( ker\,T = ker\,S \) se cumple, desarrollé en base a lo que tenía antes.

\( T(v) = S(u) \)

Si un v y u son vectores de los ker no necesitas desarrollar nada, es trivial, los dos son dan cero.

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Considera \[ T(v_1,...,v_n)=t_1v_1+...+t_nv_n \] y \[ S(v_1,...,v_n)=s_1v_1+...+s_nv_n \]. Si hay dos \( i,j \) tales que \[ i<j \] y \[ (t_i,t_j);(s_i,s_j) \] son linealmente independientes, entonces el vector que tiene la coordenada i-ésima igual a \[ t_j \], la j-ésima igual a \[ -t_i \] y las demás \[ 0 \] es del núcleo de T pero no del de S .

Un saludo.

[Mburucuya]

Buenos días, gracias por las respuestas.

Si un v y u son vectores de los ker no necesitas desarrollar nada, es trivial, los dos son dan cero.

Saludos.

Entonces siempre va a haber un escalar cualquiera para que se cumpla la proposición, no?

entonces el vector que tiene la coordenada i-ésima igual a \[ t_j \], la j-ésima igual a \[ -t_i \] y las demás \[ 0 \] es del núcleo de T pero no del de S .

Un saludo.

Esto me confundió un poco, lo escribí como \[ T(v_1,\ldots,v_i,v_j,\ldots,v_n)=0\cdot{v_1}+0\cdot{v_2}+\ldots+t_jv_i-t_iv_j+\ldots+0\cdot{v_n} \] pero no estoy viendo cómo es que se llega a que \[ v \] no está en S. ¿Es \[ t_jv_i=t_iv_j \]?

[martiniano]

Hola.

Esto me confundió un poco, lo escribí como \[ T(v_1,\ldots,v_i,v_j,\ldots,v_n)=0\cdot{v_1}+0\cdot{v_2}+\ldots+t_jv_i-t_iv_j+\ldots+0\cdot{v_n} \]

Diría que está bien. Yo en principio no me imaginaba i y j consecutivos pero está claro que en una cierta base lo serán. De hecho en una cierta base será \[ i=1 \] y \[ j=2 \].

pero no estoy viendo cómo es que se llega a que \[ v \] no está en S. ¿Es \[ t_jv_i=t_iv_j \]?

Precisamente es \[ t_jv_i\neq t_iv_j \]. Mira a ver si te sale, se trata de probar que \[ S(v)\neq 0 \] teniendo en cuenta la desigualdad de antes.

[feriva]

Entonces siempre va a haber un escalar cualquiera para que se cumpla la proposición, no?

Sí, pero no es tan sencillo, no es sólo tomar dos reales distintos de cero, a,b, y decir $$\dfrac{a}{b}=c$$, donde c es un real por la cerradura, y entonces, $$a=cb$$. Con eso no vale, porque hay “muchos vectores” para la imagen, tienes que justificarlo.

Lo que ocurre es que esos vectores son representantes de un mismo vector, el de la imagen; porque como había dicho lindeloff (que ha borrado sus respuestas, por cierto) eso es cierto sólo cuando la dimensión del ker es n-1; y es que siempre es n-1, porque la llegada sólo es un número, si la aplicación fuera de $$\mathbb{R}^{n}$$ a $$\mathbb{R}^{m}$$ con m mayor que 1, pues no podría dar sólo un número (yo no me acuerdo casi de estas cosas, pero este tipo de homomorfismos como los del problema creo que se llamaban blasmorfismos o algo parecido).


Entonces, si w es un vector de la imagen (por darle algún nombre) simplemente tomas $$\alpha=\dfrac{T(w)}{T(w)}$$, y la igualdad funciona en general.

perdón, es $$\alpha=\dfrac{T(w)}{S(w)}$$



Saludos.