[petras]

En el lado \( AD \) de un cuadrilátero convexo \( ABCD \) se ubica el punto \( E \) de modo que \( AB=BE, EC=CD \) y \( BC= 8\sqrt 2 \); calcule la distancia entre los puntos medias de las diagonales de dicho cuadrilátero

Spoiler

S: \( 4\sqrt2 \)

[cerrar]

[Pie]

En el lado \( AD \) de un cuadrilátero convexo \( ABCD \) se ubica el punto \( E \) de modo que \( AB=BE, EC=CD \) y \( BC= 8\sqrt 2 \); calcule la distancia entre los puntos medias de las diagonales de dicho cuadrilátero

Spoiler

S: \( 4\sqrt2 \)

[cerrar]

Spoiler

Sean \( Q, L, P \) los puntos medios de \( AB, BC, CD \):



Tenemos:

\( \angle BLM + \angle NLC = (\angle BCA +\angle CAB) + (\angle DBC + \angle CDB)  \)

Pero por ángulos opuestos por vértice:

\( \angle BCA + \angle DBC= \angle DAC + \angle BDA  \)

De donde:

\( \angle BLM + \angle NLC = \underbrace{\angle DAC + \angle CAB}_{\angle EAB} + \underbrace{\angle BDA +\angle CDB}_{\angle CDE} =\angle BEA + \angle DEC \)

Por lo que \( \angle MLN = \angle CEB \), y de ahi se deduce que el triángulo \( \triangle{MLN} \) es semejante a \( \triangle{BEC} \) a razón de \( 1/2 \), de donde: \( MN = \frac{1}{2}BC \)..

[cerrar]

Saludos.

[petras]

En el lado \( AD \) de un cuadrilátero convexo \( ABCD \) se ubica el punto \( E \) de modo que \( AB=BE, EC=CD \) y \( BC= 8\sqrt 2 \); calcule la distancia entre los puntos medias de las diagonales de dicho cuadrilátero

Spoiler

S: \( 4\sqrt2 \)

[cerrar]

Spoiler

Sean \( Q, L, P \) los puntos medios de \( AB, BC, CD \):



Tenemos:

\( \angle BLM + \angle NLC = (\angle BCA +\angle CAB) + (\angle DBC + \angle CDB)  \)

Pero por ángulos opuestos por vértice:

\( \angle BCA + \angle DBC= \angle DAC + \angle BDA  \)

De donde:

\( \angle BLM + \angle NLC = \underbrace{\angle DAC + \angle CAB}_{\angle EAB} + \underbrace{\angle BDA +\angle CDB}_{\angle CDE} =\angle BEA + \angle DEC \)

Por lo que \( \angle MLN = \angle CEB \), y de ahi se deduce que el triángulo \( \triangle{MLN} \) es semejante a \( \triangle{BEC} \) a razón de \( 1/2 \), de donde: \( MN = \frac{1}{2}BC \)..

[cerrar]

Saludos.

Agradecido
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

En el lado \( AD \) de un cuadrilátero convexo \( ABCD \) se ubica el punto \( E \) de modo que \( AB=BE, EC=CD \) y \( BC= 8\sqrt 2 \); calcule la distancia entre los puntos medias de las diagonales de dicho cuadrilátero

Spoiler

S: \( 4\sqrt2 \)

[cerrar]

Otra forma...

Spoiler

Según el dibujo, llamando \( a=AF=FE, b=EG=GD, \\h=BF, H=CG, \) se tiene que
\( (H-h)^2+(a+b)^2=(8\sqrt{2})^2=128 \).
Por otra parte,
\( MN^2=\left[\dfrac{a+2b}{2}+a-\dfrac{2a+b}{2}\right]^2+\left(\dfrac{H}{2}-\dfrac{h}{2}\right)^2 \) de donde
\( MN^2=\dfrac{(a+b)^2}{4}+\dfrac{(H-h)^2}{4}=\cdots =32\Longrightarrow \\\boxed{MN=4\sqrt{2}} \)
Se usa la propiedad siguiente:

[cerrar]

Saludos

[petras]

Hola:

En el lado \( AD \) de un cuadrilátero convexo \( ABCD \) se ubica el punto \( E \) de modo que \( AB=BE, EC=CD \) y \( BC= 8\sqrt 2 \); calcule la distancia entre los puntos medias de las diagonales de dicho cuadrilátero

Spoiler

S: \( 4\sqrt2 \)

[cerrar]

Otra forma...

Spoiler

Según el dibujo, llamando \( a=AF=FE, b=EG=GD, \\h=BF, H=CG, \) se tiene que
\( (H-h)^2+(a+b)^2=(8\sqrt{2})^2=128 \).
Por otra parte,
\( MN^2=\left[\dfrac{a+2b}{2}+a-\dfrac{2a+b}{2}\right]^2+\left(\dfrac{H}{2}-\dfrac{h}{2}\right)^2 \) de donde
\( MN^2=\dfrac{(a+b)^2}{4}+\dfrac{(H-h)^2}{4}=\cdots =32\Longrightarrow \\\boxed{MN=4\sqrt{2}} \)
Se usa la propiedad siguiente:

[cerrar]

Saludos