[petras]

En un rectángulo ABCD, O es punto medio de \( BD \) , se ubica un punto P en la prolongación de \( CD \) tal que \( m<OPC = m<CBD \) , las distancias de \( A \) a \( BD \) y de \( P \) ai punto O están en la razón de \( 2 \) y \( 5 \). Calcule \( m<POD \)

Spoiler

S: \( 37^o \)

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[Pie]

En un rectángulo ABCD, O es punto medio de \( BD \) , se ubica un punto P en la prolongación de \( CD \) tal que \( m<OPC = m<CBD \) , las distancias de \( A \) a \( BD \) y de \( P \) ai punto O están en la razón de \( 2 \) y \( 5 \). Calcule \( m<POC \)

Spoiler

S: \( 37^o \)

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Spoiler

Los triángulos \( \triangle{BEA} \) y \( \triangle{COP} \) son semejantes a razon de \( 2/5 \), de donde \( BE = 2x, OD =OC=5x \Longrightarrow{}ED=8x \)

Por tanto:

\[ \frac{BE}{EA} = \frac{EA} {ED} \Longrightarrow{}EA^2 = BE\cdot ED = 2x\cdot 8x = 16x^2 \Longrightarrow{}  \]

\[ EA = 4x = 2BE \]

Y de ahi:

\[ \angle EAB = \arctan(1/2) \Longrightarrow{} \angle POD = 90^o-2\arctan(1/2) \approx{} 37^o \]

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Saludos.

[petras]

En un rectángulo ABCD, O es punto medio de \( BD \) , se ubica un punto P en la prolongación de \( CD \) tal que \( m<OPC = m<CBD \) , las distancias de \( A \) a \( BD \) y de \( P \) ai punto O están en la razón de \( 2 \) y \( 5 \). Calcule \( m<POC \)

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S: \( 37^o \)

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Los triángulos \( \triangle{BEA} \) y \( \triangle{COP} \) son semejantes a razon de \( 2/5 \), de donde \( BE = 2x, OD =OC=5x \Longrightarrow{}ED=8x \)

Por tanto:

\[ \frac{BE}{EA} = \frac{EA} {ED} \Longrightarrow{}EA^2 = BE\cdot ED = 2x\cdot 8x = 16x^2 \Longrightarrow{}  \]

\[ EA = 4x = 2BE \]

Y de ahi:

\[ \angle EAB = \arctan(1/2) \Longrightarrow{} \angle POD = 90^o-2\arctan(1/2) \approx{} 37^o \]

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Saludos.

Agradecido
Saludos