[petras]

En un trapecio\(  ABCD \) ( \( BC \parallel AD \)), \( P \) es el punto medio de \( BD \), de manera que \( m<CPD=m<BAD, AB=BP \) y \( CP=3 \).
Calcule \( AD \).

Spoiler

S: 9

[cerrar]

Mediante GeoGebra descubrí que el trapecio debe ser rectángulo y a partir de ahí es fácil la resolución, pero aún no he podido demostrar esa propiedad».

[Pie]

En un trapecio\(  ABCD \) ( \( BC \parallel AD \)), \( P \) es el punto medio de \( BD \), de manera que \( m<CPD=m<BAD, AB=BP \) y \( CP=3 \).
Calcule \( AD \).

Spoiler

S: 9

[cerrar]

Mediante GeoGebra descubrí que el trapecio debe ser rectángulo y a partir de ahí es fácil la resolución, pero aún no he podido demostrar esa propiedad».

No hace falta que sea rectángulo..



Prolongando \( CP \) hasta \( AD \) tenemos que \( FBCD \) es un paralelogramo (por ser \( P \) punto medio de \( BD \)), entonces por la igualdad de ángulos y segmentos indicada se deduce que \( \triangle{BAF} \equiv{} \triangle{BPF}\equiv \triangle {DPC} \), por tanto el triángulo \( \triangle{CFD} \) es isósceles y \( AD = AF+FC = 3CP \)

PD. Perdón por el ángulo verde que no pinta nada, al hacer la construcción del trapecio fue de lo primero que puse y se me olvidó quitarlo al hacer la captura..

Saludos.

[petras]

En un trapecio\(  ABCD \) ( \( BC \parallel AD \)), \( P \) es el punto medio de \( BD \), de manera que \( m<CPD=m<BAD, AB=BP \) y \( CP=3 \).
Calcule \( AD \).

Spoiler

S: 9

[cerrar]

Mediante GeoGebra descubrí que el trapecio debe ser rectángulo y a partir de ahí es fácil la resolución, pero aún no he podido demostrar esa propiedad».

No hace falta que sea rectángulo..



Prolongando \( CP \) hasta \( AD \) tenemos que \( FBCD \) es un paralelogramo (por ser \( P \) punto medio de \( BD \)), entonces por la igualdad de ángulos y segmentos indicada se deduce que \( \triangle{BAF} \equiv{} \triangle{BPF}\equiv \triangle {DPC} \), por tanto el triángulo \( \triangle{CFD} \) es isósceles y \( AD = AF+FC = 3CP \)

PD. Perdón por el ángulo verde que no pinta nada, al hacer la construcción del trapecio fue de lo primero que puse y se me olvidó quitarlo al hacer la captura..

Saludos.

Tranquilo, te agradezco
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
Prolongando \( CP \) hasta \( AD \) tenemos que \( FBCD \) es un paralelogramo (por ser \( P \) punto medio de \( BD \)), entonces por la igualdad de ángulos y segmentos indicada se deduce que \( \triangle{BAF} \equiv{} \triangle{BPF}\equiv \triangle {DPC} \), por tanto el triángulo \( \triangle{CFD} \) es isósceles y \( AD = AF+FC = 3CP \)
...

No logro ver porqué \( \angle{BFA}=\angle{PCD} \)  ¿Podrías detallarlo un poco más (como para espesos...  )?
Gracias
Saludos

[Pie]

Hola:

...
Prolongando \( CP \) hasta \( AD \) tenemos que \( FBCD \) es un paralelogramo (por ser \( P \) punto medio de \( BD \)), entonces por la igualdad de ángulos y segmentos indicada se deduce que \( \triangle{BAF} \equiv{} \triangle{BPF}\equiv \triangle {DPC} \), por tanto el triángulo \( \triangle{CFD} \) es isósceles y \( AD = AF+FC = 3CP \)
...

No logro ver porqué \( \angle{BFA}=\angle{PCD} \)  ¿Podrías detallarlo un poco más (como para espesos...  )?
Gracias
Saludos

El triángulo \( \triangle{ABP} \) es isósceles, y como \( \angle FAB = \angle BPF \), \( \angle FAP= \angle APF \), por lo que \( AF=FP=PC \), y por tanto \( \triangle BAF \equiv \triangle DPC \) (criterio LLL, o LAL )

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...

El triángulo \( \triangle{ABP} \) es isósceles, y como \( \angle FAB = \angle BPF \), \( \angle FAP= \angle APF \), por lo que \( AF=FP=PC \), y por tanto \( \triangle BAF \equiv \triangle DPC \) (criterio LLL, o LAL )
...

¡Claro, claro! \( \alpha +\beta=\alpha +\gamma\Longrightarrow \beta=\gamma \) . Ciertamente estoy espeso ...
Gracias 
Saludos