[geómetracat]

Inicialmente lo iba a poner en el otro hilo de ChatGPT, pero creo que esto es una noticia suficientemente importante como para que tenga un hilo propio.

Para los que no la conozcan, la conjetura Jacobiana era hasta hace unas horas uno de los problemas abiertos más importantes  y conocidos en geometría algebraica clásica. Esta conjetura afirma que si una aplicación \( f:\Bbb C^n \to \Bbb C^n \) es polinómica (sus componentes vienen dados por polinomios) y tiene determinante Jacobiano constante no nulo, entonces es biyectiva. Esta conjetura se planteó en 1939 y desde entonces ha sido atacada por innumerables matemáticos de primer nivel.

La noticia es que un LLM (Fable de Anthropic, para más señas) ha encontrado un contraejemplo explícito:
La aplicación \( f:\Bbb C^3 \to \Bbb C^3 \) dada por
\(
F(x,y,z)=\left(
(1+xy)^3z+y^2(1+xy)(4+3xy),\;
y+3x(1+xy)^2z+3xy^2(4+3xy),\;
2x-3x^2y-x^3z
\right).

 \)
tiene jacobiano constante -2, pero sin embargo:
\(
F\!\left(0,0,-\frac14\right)
=
F\!\left(1,-\frac32,\frac{13}{2}\right)
=
F\!\left(-1,\frac32,\frac{13}{2}\right)
=
\left(-\frac14,0,0\right).

 \)
por lo que no es inyectiva.

Esto ha sido anunciado por un empleado de Anthropic en X (antiguo twitter): https://x.com/i/status/2079028340955197566.

Sin duda este es el avance matemático más importante hasta el momento realizado por IA, y seguro que en unas horas/días lo vamos a ver por todas partes en las noticias de ámbito matemático.

[Luis Fuentes]

Hola

 En este caso tengo especial curiosidad por saber como es la conversación que ha llevado al contraejemplo. Y más aún, aunque esto es más difícil y probablemente por la naturaleza de las LLM, que demonios ha "pensado" la IA para encontrarlo.

 Porque en realidad, es un caso donde en principio no tiene porque haber un razonamiento; si uno lo encuentra y funciona poco que argumentar. Pero pura fuerza bruta o azar es descartable, incluso con polinomios de grado bajo y coeficientes enteros pequeños, la casuística es muy grande.

Saludos.

[geómetracat]

Hola

 En este caso tengo especial curiosidad por saber como es la conversación que ha llevado al contraejemplo. Y más aún, aunque esto es más difícil y probablemente por la naturaleza de las LLM, que demonios ha "pensado" la IA para encontrarlo.

 Porque en realidad, es un caso donde en principio no tiene porque haber un razonamiento; si uno lo encuentra y funciona poco que argumentar. Pero pura fuerza bruta o azar es descartable, incluso con polinomios de grado bajo y coeficientes enteros pequeños, la casuística es muy grande.

Saludos.

Me pasa igual, pero hasta donde yo sé no se ha publicado nada de la conversación o el razonamiento del modelo. Tiene que ser muy curioso de ver. Si se publica y lo encuentro lo pondré por aquí.

Edit:
Aunque no se ha publicado el razonamiento original, la reconstrucción del razonamiento que hace aquí otra instancia del mismo modelo parece bastante plausible:
https://claude.ai/share/22abed98-d9af-43c5-9881-b19e009a07b0

Básicamente, se parte de un "contraejemplo" racional (con polos) que se conocía ya desde hace tiempo y se modifica para obtener un contraejemplo (este de verdad) a la conjetura.

[Tachikomaia]

Entonces de cada conjetura (asumo que es algo no demostrado) uno podría pedirle a la IA que la refute ¿y podría ser que lo haga?

¿Como estas?
https://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:Conjeturas_matem%C3%A1ticas

[Masacroso]

Hace unos días salió una IA china que es la más potente hasta la fecha y que maneja más parámetros que ninguna otra. Gente la ha estado probando estos días y verifica que supera con creces las capacidades de Fable: se llama Kimi-K3. Se vienen tiempos interesantes.

[Richard R Richard]

Raro no,  dió el resultado en $$\Bbb Q^3$$ mas especifico que en $$\Bbb C^3$$. 
Pregunto lo mas complejo de la conjetura es que el determinante de Jacobiano sea constante y distinto de cero, Segun GPT es 1 y no -2 , es decir si es 1 se conserva el volumen al integrar en los dos espacios el original y uno transformado por $$F(x,y,z)$$. Desasnenme, porque creo que un campo vectorial (una aplicación creo que le dicen) no inyectiva es relativamente de "facil" de pensar, las condiciones sobre el Jacobiano son las dificiles de cumplir.  O  estoy mezclando temas...

[Masacroso]

Raro no,  dió el resultado en $$\Bbb Q^3$$ mas especifico que en $$\Bbb C^3$$. 
Pregunto lo mas complejo de la conjetura es que el determinante de Jacobiano sea constante y distinto de cero, Segun GPT es 1 y no -2 , es decir si es 1 se conserva el volumen al integrar en los dos espacios el original y uno transformado por $$F(x,y,z)$$. Desasnenme, porque creo que un campo vectorial (una aplicación creo que le dicen) no inyectiva es relativamente de "facil" de pensar, las condiciones sobre el Jacobiano son las dificiles de cumplir.  O  estoy mezclando temas...

Según Deepseek es \( -2 \). Para corroborarlo debería hacerlo con mathematica o un software de ese tipo, pero ahora no lo tengo a mano.

[Abdulai]

Para WolframAlpha  (Mathematica)  tambien es -2
https://www.wolframalpha.com/input?i=jacobian+of+%5B%281+%2B+x%C2%B7y%29%5E3%C2%B7z+%2B+y%5E2%C2%B7%281+%2B+x%C2%B7y%29%C2%B7%284+%2B+3%C2%B7x%C2%B7y%29%2C+y+%2B+3%C2%B7x%C2%B7%281+%2B+x%C2%B7y%29%5E2%C2%B7z+%2B+3%C2%B7x%C2%B7y%5E2%C2%B7%284+%2B+3%C2%B7x%C2%B7y%29%2C+2%C2%B7x+-+3%C2%B7x%5E2%C2%B7y+-+x%5E3%C2%B7z%5D

[Richard R Richard]

 RESPUESTA GPT

\[
F(x,y,z)=\Big(F_1,F_2,F_3\Big)
\]


\[
F_1=(1+xy)^3z+y^2(1+xy)(4+3xy),
\]


\[
F_2=y+3x(1+xy)^2z+3xy^2(4+3xy),
\]


\[
F_3=2x-3x^2y-x^3z.
\]


Definimos


\[
u=1+xy.
\]


Entonces


\[
F_1=u^3z+y^2u(4+3xy),
\]


\[
F_2=y+3xu^2z+3xy^2(4+3xy),
\]


\[
F_3=2x-3x^2y-x^3z.
\]


Las derivadas parciales son


\[
\frac{\partial F_1}{\partial x}
=3yu^2z+y^3(7+6xy),
\]


\[
\frac{\partial F_1}{\partial y}
=3xu^2z+8y+21xy^2+12x^2y^3,
\]


\[
\frac{\partial F_1}{\partial z}
=u^3,
\]


\[
\frac{\partial F_2}{\partial x}
=3u^2z+6xyuz+12y^2+18xy^3,
\]


\[
\frac{\partial F_2}{\partial y}
=1+6x^2uz+24xy+27x^2y^2,
\]


\[
\frac{\partial F_2}{\partial z}
=3xu^2,
\]


\[
\frac{\partial F_3}{\partial x}
=2-6xy-3x^2z,
\]


\[
\frac{\partial F_3}{\partial y}
=-3x^2,
\]


\[
\frac{\partial F_3}{\partial z}
=-x^3.
\]


Por tanto, la matriz jacobiana es


\[
J_F=
\begin{pmatrix}
3yu^2z+y^3(7+6xy)
&
3xu^2z+8y+21xy^2+12x^2y^3
&
u^3
\\[2mm]
3u^2z+6xyuz+12y^2+18xy^3
&
1+6x^2uz+24xy+27x^2y^2
&
3xu^2
\\[2mm]
2-6xy-3x^2z
&
-3x^2
&
-x^3
\end{pmatrix}.
\]


Su determinante es


\[
\det(J_F)=1.
\]


Es decir,


\[
\boxed{
\det\!\left(
\frac{\partial(F_1,F_2,F_3)}
{\partial(x,y,z)}
\right)=1
}.\]

[cerrar]

lo único raro que veo es el cambio de variable que no vuelve para atras.

[Luis Fuentes]

Hola

 

Raro no,  dió el resultado en $$\Bbb Q^3$$ mas especifico que en $$\Bbb C^3$$. 
Pregunto lo mas complejo de la conjetura es que el determinante de Jacobiano sea constante y distinto de cero, Segun GPT es 1 y no -2 , es decir si es 1 se conserva el volumen al integrar en los dos espacios el original y uno transformado por $$F(x,y,z)$$. Desasnenme, porque creo que un campo vectorial (una aplicación creo que le dicen) no inyectiva es relativamente de "facil" de pensar, las condiciones sobre el Jacobiano son las dificiles de cumplir.  O  estoy mezclando temas...

 Simplemente Chat GPT está cometiendo un error al calcular el determinante.

 Si, una aplicación no inyectiva obviamente es fácil de pensar. La cosa es que se cumplan las dos cosas que se pidan simultáneamente: jacobiano constante no nulo y no inyectiva.

 No sé porqué ves raro que el ejemplo sea con coeficientes enteros.

Saludos.