Saludos, en relación al hilo anterior (aunque no sé si deba incluirlo ahí o escribirlo aparte como estoy haciendo), he estado pensando sobre la demostración del teorema 5.42, luego de un par de observaciones que hice, me surgieron 2 dudas al respecto. (Primera captura)
La primera:
¿Sería correcto modificar ligeramente el uso del teorema 5.40 para usar un particularizador acotado por y (y además poner \( u=<i,v> \) en lugar de \( x=<i,v> \)? (Segunda captura)
La razón por la que pregunto esto es porque lo que creo que la fórmula está haciendo es especificar ciertos elementos del conjunto determinado por el par (y,z), que por hipótesis, codifican una sucesión exponencial finita de largo por lo menos x (comenzando desde el 0) y además agrega el término <x,2q> para continuarla en un término más si es que ese término no estaba incluído antes.
La cosa es que en los primeros x términos, los pares <i,v> que están en (y,z), ya tienen la componente v acotada por y, por lo que creo conveniente introducir eso en la especificación para que esa fórmula sea \( \Delta_{0} \) y sea más evidente que es un teorema de \( I\Sigma_{1} \) ya que tal cual está escrita en el libro creo que esa demostración está hecha en la aritmética de Peano.
La segunda:
Tengo la sospecha de que el hecho de que \( <i,v>\in_{0}(y',z') \) en sí no garantiza de que \( v=(y,z)_{i} \), que esta especificación puede incluir a los pares \( <i,v> \) con \( v>(y,z)_{i} \), pero lo que sí considero cierto es que \( (y,z)_{i}=(y',z')_{i} \) y esto último creo haberlo demostrarlo (o al menos espero haber dado un argumento convincente con la tercera y cuarta captura), ¿estoy en lo correcto?
El dibujo es para representar la idea de que sea como sea el conjunto determinado por el par (y,z), todos sus elementos al representarlos por los pares aritméticos \( <i,v> \) correspondientes, por las hipótesis que ocupa el teorema, existe una sucesión de largo al menos x (lo que haya de x en adelante da igual), donde i está acotado por x y v está acotado por y, pero además contiene una sucesión exponencial formada por los pares \( <i,v> \) con v siendo el menor número tal que \( <i,v>\in_{0}(y,z) \), lo que haya por encima de estos v da igual, y por ser mínimos, por debajo no hay nada.
Los puntos que están en la región delimitada por las lineas segmentadas representan a los elementos u que satisfacen la fórmula:
\( u\in_{0}(y,z) \land \bigvee i<x \bigvee v<y (u=<i,v>) \)
Y los puntos que están por debajo de la "escalera" son los pares con el \( <i,(y,z)_{i}> \) que codifican la exponencial.
