[Juan.tobonsilva]

Como mostrar que \( \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{\sqrt[n]{n!}}=e \)

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que \( \displaystyle \dfrac{n+1}{\sqrt[n]{\color{red}n!\color{black}}} = \dfrac{n+1}{n} \cdot \dfrac{n}{\sqrt[n]{\color{red}n!\color{black}}}  \) luego tienes que demostrar:
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n}{\sqrt[n]{\color{red}n!\color{black}}} = e  \)



Una forma es usar la fórmula de Stirling:
\( n! = (\dfrac{n}{e})^n \cdot \sqrt{2 \cdot \pi \cdot n} \cdot j(n)  \) con \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} j(n) = 1  \)

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Otra forma es usar el criterio que te puse en el otro enlace:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=130348.msg541339#msg541339
Y poner \( a_n = \dfrac{n^n}{n!}  \)

Por favor contesta a las respuestas que te dan  y pon lo que intentas.
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Tienes que \( \displaystyle \dfrac{n+1}{\sqrt[n]{n\textcolor{blue}{!}}} = \dfrac{n+1}{n} \cdot \dfrac{n}{\sqrt[n]{n\textcolor{blue}{!}}}  \) luego tienes que demostrar:
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n}{\sqrt[n]{n\textcolor{blue}{!}}} = e  \)

...

Me parece que se han omitido unos signos de exclamación 
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Unos no ¡MUCHOS! ahora lo mejoro, gracias ani_pascual.