Hola.
La igualdad \( a_{n+1,n+1}=\dfrac{2n+1}{2(n+1)} \) 4\( a_{n,n} \) es correcta, al igual que la que tú escribes. Date cuenta de que está incluido un 4 que multiplica.
De hecho, las identidades
\( a_{n+1,0}=\dfrac{2n+1}{2(n+1)}\,4a_{n,0} \) y \( a_{n+1,n+1}=\dfrac{2n+1}{2(n+1)}\,4a_{n,n} \)
son equivalentes debido a la simetría de los números \( a_{n,k} \). Es decir, de forma parecida a lo que cumplen los números combinatorios, se verifica \( a_{n,k}=a_{n,n-k} \), lo que significa que
\( a_{n+1,0}=a_{n+1,n+1} \) y \( a_{n,0}=a_{n,n} \)
y la primera igualdad será cierta si, y sólo si, lo es la segunda.
Por otro lado, supongamos que \( \displaystyle\sum_{k=0}^n{a_{n,k}}=4^n \).
Entonces
\( \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}a_{n+1,k}=a_{n+1,0}+\Big(\sum_{k=1}^{n}a_{n+1,k}\Big)+a_{n+1,n+1}=
\dfrac{2n+1}{2(n+1)}\,4a_{n,0}+\displaystyle\sum_{k=1}^n\Big(\dfrac{2k-1}{2(n+1)}\,4a_{n,k-1}+\dfrac{2n-2k+1}{2(n+1)}\,4a_{n,k}\Big)+\dfrac{2n+1}{2(n+1)}\,4a_{n,n}= \)
\( =4\Big[\dfrac{2n+1}{2(n+1)}\,a_{n,0}+\dfrac{1}{2(n+1)}a_{n,0}+\displaystyle\sum_{k=2}^n\Big(\dfrac{2k-1}{2(n+1)}\,a_{n,k-1}\Big)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\Big(\dfrac{2n-2k+1}{2(n+1)}\,a_{n,k}\Big)+\dfrac{1}{2(n+1)}\,a_{n,n}+\dfrac{2n+1}{2(n+1)}\,a_{n,n}\Big]= \)
\( =4\Big[a_{n,0}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\Big(\dfrac{2k+1}{2(n+1)}\,a_{n,k}\Big)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\Big(\dfrac{2n-2k+1}{2(n+1)}\,a_{n,k}\Big)+a_{n,n}\Big]=
4\Big[a_{n,0}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\Big(\dfrac{2k+1}{2(n+1)}+\dfrac{2n-2k+1}{2(n+1)}\Big)\,a_{n,k}+a_{n,n}\Big]= \)
\( =4\Big[a_{n,0}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\,a_{n,k}+a_{n,n}\Big]=4\cdot\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\,a_{n,k}=4\cdot 4^n=4^{n+1} \).
Espero que de esta forma quede más clarificado.
Un saludo.
