Buenas, abro este tema para compartir algo que me ha sorprendido gratamente sobre las nuevas "inteligencias artificiales". Últimamente estoy dedicando algo de tiempo a aprender (y repasar) álgebra, y ahora mismo estaba mirando sobre los grupos de permutaciones \( S_n \).
Resulta que si definimos la acción de una permutación \( \sigma \in S_n \) sobre \( x\in \mathbb{R}^n \) como \( \sigma \cdot x:=(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)}) \) entonces esta acción resulta que invierte la composición de permutaciones, es decir que si \( \tau \in S_n \) es otra permutación entonces se puede demostrar que
\[
(\tau \circ \sigma )\cdot x=\sigma \cdot (\tau \cdot x)
\]
De ahí viene la costumbre de hacer actuar a las permutaciones por la derecha en vez de por la izquierda, es decir, de definir \( x\cdot \sigma :=(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)}) \), en este caso tenemos que \( x\cdot (\sigma \circ \tau )=(x\cdot \sigma )\cdot \tau \), como debe ser para una acción si tomamos la composición como el producto natural en \( S_n \).
Ahora bien, esto de arriba se puede demostrar fácilmente utilizando coordenadas, pero me preguntaba si existiría una demostración más elegante que no utilice coordenadas, y como no se me ocurría nada (y tampoco tenía muchas ganas de pensar demasiado sobre este asunto) le he preguntado a qwen (una de las mejores "inteligencias" artificiales chinas) si podía mostrarme alguna demostración elegante sobre lo anterior que no utilice coordenadas, y en pocos segundos ha razonado (no copipasteado de ningún sitio) lo siguiente:
(contexto, le había dado a analizar la acción definida por \( \sigma \cdot x:=(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)}) \))
📘 Identificación estructural
Considera el conjunto \( \Omega = \{1, 2, \ldots, n\} \). Todo vector \( x \in \mathbb{R}^n \) se identifica de manera natural con una función:
\( f_x : \Omega \to \mathbb{R}, \quad f_x(i) = x_i. \)
Bajo esta identificación, la acción que defines se traduce en:
\( (\sigma \cdot f)(i) = f(\sigma(i)) \quad \Longrightarrow \quad \sigma \cdot f = f \circ \sigma. \)
Es decir, tu definición corresponde exactamente a precomponer con la permutación.
🔍 Demostración sin coordenadas
Usando únicamente la asociatividad de la composición de funciones, tenemos:
\(
\begin{aligned}
\tau \cdot (\sigma \cdot f) &= \tau \cdot (f \circ \sigma) \\
&= (f \circ \sigma) \circ \tau \\
&= f \circ (\sigma \circ \tau) \\
&= (\sigma \circ \tau) \cdot f.
\end{aligned}
\)
Por otro lado, el lado izquierdo que preguntas es:
\( (\tau \circ \sigma) \cdot f = f \circ (\tau \circ \sigma). \)
Para que ambas expresiones coincidan para toda función \( f \), debe cumplirse \( \sigma \circ \tau = \tau \circ \sigma \). Como \( S_n \) no es abeliano para \( n \ge 3 \), la igualdad no se cumple en general. De hecho, se obtiene exactamente la ley de una acción por la derecha:
\( \tau \cdot (\sigma \cdot f) = (\sigma \circ \tau) \cdot f. \)
💡 ¿Por qué es elegante?
- Evita índices: Solo usa la estructura de espacio de funciones y la asociatividad de la composición.
- Revela la naturaleza de la acción: Muestra que tu definición es la acción natural por precomposición, que es intrínsecamente una acción derecha.
- Da la corrección de inmediato: Para obtener una acción por la izquierda que satisfaga \( (\tau \circ \sigma)\cdot f = \tau \cdot (\sigma \cdot f) \), basta definir \( \sigma \cdot f = f \circ \sigma^{-1} \), ya que entonces:
\( \tau \cdot (\sigma \cdot f) = (f \circ \sigma^{-1}) \circ \tau^{-1} = f \circ (\sigma^{-1} \circ \tau^{-1}) = f \circ (\tau \circ \sigma)^{-1} = (\tau \circ \sigma) \cdot f. \)
Esta perspectiva es estándar en teoría de representaciones y geometría, donde las acciones por precomposición son siempre derechas, mientras que las que involucran inversas (o poscomposición) dan acciones izquierdas.
Esto hace unos años era impensable, y definitivamente una tecnología así va a cambiar el mundo. Nos acercamos a un mundo donde lo que relata el libro de ciencia ficción
La era del diamante: manual ilustrado para jovencitas de Neal Stephenson no va a ser tan descabellado.
