[delmar]

Hola estimados foristas, acá con una inquietud respecto al teorema de límites iterados en dos variables.

El enunciado del teorema textualmente es  :

Si \( \exists{\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(a,b)}{f(x,y)}}=L \)

y

\( \exists{\displaystyle\lim_{x \to{}a}{f(x,y)}} \ \ \wedge \ \ \exists{\displaystyle\lim_{y \to{}b}{f(x,y)}} \)

Entonces :

\( \exists{\displaystyle\lim_{x \to{}a}{[\displaystyle\lim_{y \to{}b}{f(x,y)}]}}=\displaystyle\lim_{y \to{}b}{[\displaystyle\lim_{x \to{}a}{f(x,y)}]}=L \)

Mi inquietud es ¿\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x,y)} \) es una función \( L_1(y) \) definida en \( 0<\left |{y-b}\right |<\delta_1 \)? en forma semejante ¿\( \displaystyle\lim_{y \to{b}}{f(x,y)} \) es una función \( L_2(x) \) definida en \( 0<\left |{x-a}\right |<\delta_2 \)? lo cual se presupone en el enunciado del teorema o no es necesario presuponerlo y simplemente se da o la respuesta es negativa para ambas interrogantes. Particularmente considero que se presupone en el enunciado del teorema

Atento a su ayuda y aportes. Gracias de antemano

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Mi inquietud es ¿\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x,y)} \) es una función \( L_1(y) \) definida en \( 0<\left |{y-b}\right |<\delta_1 \)? en forma semejante ¿\( \displaystyle\lim_{y \to{b}}{f(x,y)} \) es una función \( L_2(x) \) definida en \( 0<\left |{x-a}\right |<\delta_2 \)? lo cual se presupone en el enunciado del teorema o no es necesario presuponerlo y simplemente se da o la respuesta es negativa para ambas interrogantes. Particularmente considero que se presupone en el enunciado del teorema

Si; vaya por delante que se supone que la función tiene que estar definida en un entorno de \( (x,y) \).

Entonces la condición:

\( \exists{\displaystyle\lim_{x \to{}a}{f(x,y)}} \ \ \wedge \ \ \exists{\displaystyle\lim_{y \to{}b}{f(x,y)}} \)

se entiende que afirma que existen ese par de límites, el rimero para todo \( y \) en un entorno de \( b \) y el segundo para cada \( x \) en un entorno de \( a \).

Entonces para cada \( y \) tienes un límite \( \displaystyle\lim_{x \to{}a}f(x,y) \) y por tanto le puedes llamar \( L_1(y) \) y si tienes definida una función. Lo mismo con el otro.

Saludos.

[delmar]

Muchas gracias Luis Fuentes

Saludos