[ani_pascual]

Se considera la familia \( \tau=\{G\subset\mathbb{R}\,:\,\,\mathbb{R}\setminus G \mbox{ es finito },\,\, 0\notin G\}\cup \{\emptyset,\mathbb{R}\}\subset {\cal P}(\mathbb{R}) \).
i) Compruébese que \( (\mathbb{R},\tau) \) es un espacio topológico y compárese \( \tau \) con la topología usual \( \tau_u \).
ii) Estúdiese la convergencia en \( (\mathbb{R},\tau) \) de las sucesiones \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \)
a) \( x_n=1,\,\,\forall\,n\in\mathbb{N} \)
b) \( x_n=\left\{\begin{array}{rl}1\,;&n=2k\\-1\,;&n=2k-1\end{array}\right. ;\,\,\,k\in\mathbb{N} \)
c) \( x_n=1+\frac{1}{n},\,n\in\mathbb{N} \)
d) \( x_n=\frac{1}{2^n},\,n\in\mathbb{N} \)
e) \( x_n=n^2,\,n\in\mathbb{N} \)

Saludos

PD: Después casi de un mes, como no hay sugerencias de resolución, añado la que he hecho, por si es de interés para alguien:

Una posible resolución

i) Es claro, por definición, que \( \emptyset,\mathbb{R}\in\tau  \).
Dados \( G_1,G_2\in\tau \); si alguno de ellos es el vacío o alguno de ellos es \( \mathbb{R} \), es claro que \( G_1\cap G_2\in\tau \).
Supongamos que ambos son distintos del vacío y de \( \mathbb{R} \). Entonces \( \mathbb{R}\setminus (G_1\cap G_2)=(\mathbb{R}\setminus G_1)\cup (\mathbb{R}\setminus G_2) \), que es finito, por ser unión finita de conjuntos finitos. Además, \( 0\notin G_1,0\notin G_2\Longrightarrow 0\in (\mathbb{R}\setminus G_1)\cap (\mathbb{R}\setminus G_2)=\mathbb{R}\setminus (G_1\cup G_2)\subseteq \mathbb{R}\setminus (G_1\cap G_2) \), luego \( 0\notin G_1\cap G_2 \). En definitiva, \( G_1\cap G_2\in\tau \).
Finalmente, dada una familia arbitraria de abiertos \( \{G_i\}_{i\in I}\subset \tau \), que podemos considerar no vacíos y distintos de \( \mathbb{R} \), se tiene que
\( \mathbb{R}\setminus \bigcup\limits_{i\in I}G_i=\bigcap\limits_{i\in I} (\mathbb{R}\setminus G_i)\subset \mathbb{R}\setminus G_{i_0} \) con \( i_0\in I \) cualquiera, luego es finito.
Además, si \( 0\in \bigcup\limits_{i\in I}G_i\Longrightarrow \exists\,j\in I \) tal que \( 0\in G_j \), que es absurdo. Por tanto, \( 0\notin \bigcup\limits_{i\in I}G_i \) y así es \( \bigcup\limits_{i\in I}G_i\in\tau \).
Una vez visto que \( \tau \) es topología en \( \mathbb{R} \), es claro que \( \tau \) es menos fina que la usual. En efecto, dado \( G\in\tau\setminus\{\emptyset,\mathbb{R}\} \), se tiene que \( \mathbb{R}\setminus G=\{0\}\cup F \) con \( F\subset\mathbb{R} \) finito, luego como \( \{0\}\cup F\in {\cal C}_{\tau_u} \) se tiene que \( G\in\tau_u \), es decir, \( \tau\subset \tau_u \).
La otra inclusión no se verifica ya que, por ejemplo, \( (0,1)\in\tau_u \) pero \( (0,1)\notin\tau \), pues \( \mathbb{R}\setminus (0,1) \) no es finito, o por ejemplo, \( (-1,1)\in\tau_u \) pero \( (-1,1)\notin \tau \) ya que \( 0\in (-1,1) \).

ii) Cualquier sucesión en \( \mathbb{R} \) converge a \( 0 \) en \( \tau \), ya que el único entorno abierto de \( 0 \) en \( (\mathbb{R},\tau) \) es \( \mathbb{R} \) y toda sucesión en \( \mathbb{R} \) está contenida en \( \mathbb{R} \) desde su primer elemento.
a) Es una sucesión constante, luego \( \{x_n\}\stackrel{\tau}{\longrightarrow}1 \) y, como se ha dicho,  también \( \{x_n\}\stackrel{\tau}{\longrightarrow}0 \).
No hay más puntos de convergencia, ya que si \( x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\} \), existe \( G=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\in\tau \), entorno abierto de \( x \) en \( (\mathbb{R},\tau) \), tal que \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\cap G=\emptyset \)
b) Solo converge a \( 0 \), ya que si \( x\in \mathbb{R}\setminus\{0,-1,1\} \) es claro que \( G=\mathbb{R}\setminus\{0,-1,1\}\in\tau \), luego es un entorno abierto de \( x \) en \( (\mathbb{R},\tau) \) y \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\cap G=\emptyset \).
Tampoco converge a \( 1 \), pues \( 1\in U=\mathbb{R}\setminus\{0,-1\}\in\tau \) y \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\cap U=\emptyset \), ni a \( -1 \), ya que \( -1\in V=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\in\tau \) y \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\cap V=\emptyset \)
c) Converge a \( x,\,\,\forall\,x\in\mathbb{R} \); en efecto, si es \( x=0 \) o \( x=1 \) es claro; si es \( x\neq 0,1 \), dado un entorno abierto \( G \) arbitrario de \( x \) en \( (\mathbb{R},\tau) \), existe \( F\subset\mathbb{R} \) finito con \( 0\in F \) tal que \( G=\mathbb{R}\setminus F \) con \( x\in G \); de esta manera, \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\cap F \) es finito, luego existe \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) es \( x_n\in \mathbb{R}\setminus F=G \).
d) Se razona de forma análoga al apartado c)
e) Se razona de forma análoga al apartado c)

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Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Parece que el ejercicio no ha generado interés...  Entiendo que los expertos del foro no participen en este tipo de mensajes, pues para ellos es pan comío, pero entre los jóvenes estudiantes (aunque sea de espíritu  ) ¿no hay nadie que se anime a intentarlo? Añado como información, que salvo los apartados a) y b) del ítem ii, el ejercicio nos fue propuesto en un examen universitario, hace muuuucho tiempo  . Pongo el apartado ii a) resuelto en el spoiler, por si sirve de energía de activación... 

Spoiler

ii) Cualquier sucesión en \( \mathbb{R} \) converge a \( 0 \) en \( \tau \), ya que el único entorno (que resulta ser abierto) de \( 0 \) en \( (\mathbb{R},\tau) \) es \( \mathbb{R} \) y toda sucesión en \( \mathbb{R} \) está contenida en \( \mathbb{R} \) desde su primer elemento.
a) Es una sucesión constante, luego \( \{x_n\}\stackrel{\tau}{\longrightarrow}1 \) y, como se ha dicho,  también \( \{x_n\}\stackrel{\tau}{\longrightarrow}0 \). No hay más puntos de convergencia, ya que si \( x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\} \), existe \( G=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\in\tau \), entorno abierto de \( x \) en \( (\mathbb{R},\tau) \), tal que \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\cap G=\emptyset \)
Añadido
Por si acaso, aclaro que como \( 1 \) pertenece a cualquier entorno suyo en \( (\mathbb{R},\tau) \), se tiene que para cualquier entorno \( U \) de \( 1 \) en \( (\mathbb{R},\tau) \) existe \( n _0=1 \) tal que \( \forall\,n \geq n_0=1 \) se cumple \( x_n=1\in U \), luego \( \{x_n\}\stackrel{\tau}{\longrightarrow}1 \)

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Saludos

[anartesi]

Hola, buenos días. Para probar que $$\tau$$ es una topología, tengo tres condiciones que verificar. (no se si se puede decir tan simplemente que algo es fácil o difícil ).

1) $$\emptyset\in{\tau}, \mathbb{R}\in{\tau}$$
2) Sean $$G_1 \in{\tau}$$,$$ G_2 \in{\tau}$$ luego $$G_3=G_1\cap{G_2} \subset{\mathbb{R}}$$ por lo que $$G_3\in{\tau}$$
3) Si $$\left\{{G_i : i \in{I}}\right\}$$ es una familia de elementos de $$\tau$$, entonces $$\bigcup_{i\in I}^{}G_i \in \tau$$ (esto funciona porque $$0 \not\in G$$)

Si eso está bien, a mi me interesaría comparar a $$P(\mathbb{R})$$ con $$\tau_u$$

[ani_pascual]

Hola, anartesi:

Hola, buenos días. Para probar que $$\tau$$ es una topología, tengo tres condiciones que verificar. (no se si se puede decir tan simplemente que algo es fácil o difícil ).

1) $$\emptyset\in{\tau}, \mathbb{R}\in{\tau}$$
2) Sean $$G_1 \in{\tau}$$,$$ G_2 \in{\tau}$$ luego $$G_3=G_1\cap{G_2} \subset{\mathbb{R}}$$ por lo que $$G_3\in{\tau}$$
3) Si $$\left\{{G_i : i \in{I}}\right\}$$ es una familia de elementos de $$\tau$$, entonces $$\bigcup_{i\in I}^{}G_i \in \tau$$ (esto funciona porque $$0 \not\in G$$)

Si eso está bien, a mi me interesaría comparar a $$P(\mathbb{R})$$ con $$\tau_u$$

Me agrada que te hayas interesado por el ejercicio  , que no considero difícil para quien ha estudiado mínimamente la definición de topología y la de límite de una sucesión.
Respecto al punto 2), para fundamentar que \( G_3\in\tau \) no basta con probar que es un subconjunto de \( \mathbb{R} \). Te sugiero repasar la definición de \( \tau \). Observa que también entra en juego la finitud del complementario de los abiertos y el hecho de que el \( 0 \) no puede pertenecer a ellos. 
Ánimo con los otros apartados
Respecto a tu pregunta final, es claro que \( \tau_u\subset {\cal P}(\mathbb{R}) \) y la inclusión es estricta, ya que, por ejemplo, \( \{0\}\in{\cal P}(\mathbb{R}) \) pero \( \{0\}\notin \tau_u \).
Saludos

[anartesi]

Hola, buenos días. Para probar que $$\tau$$ es una topología, tengo tres condiciones que verificar. (no se si se puede decir tan simplemente que algo es fácil o difícil ).

1) $$\emptyset\in{\tau}, \mathbb{R}\in{\tau}$$
2) Sean $$G_1 \in{\tau}$$,$$ G_2 \in{\tau}$$ y  $$G_3=G_1\cap{G_2} \subset{\mathbb{R}}$$ luego,
$$\mathrm{R}$$\$$G_3 = \mathrm{R}$$ \ $$ (G_1\cap G_2) =( \mathrm{R}$$ \ $$G_1 )\cup(\mathrm{R}$$ \$$ G_2)$$. La unión de conjuntos finitos es finita, $$G_3\subset{\tau}$$ (no agregué nada sobre el cero porque no pertenece a ninguno de los conjuntos $$G_i$$)

3) Si $$\left\{{G_i : i \in{I}}\right\}$$ es una familia de elementos de $$\tau$$, entonces $$\bigcup_{i\in I}^{}G_i \in \tau$$ (esto funciona porque $$0 \not\in G$$)

Creo que ahora estaría algo más claro el inciso 2, ahora si, voy a ver las sucesiones,

[ani_pascual]

Hola:

...
Creo que ahora estaría algo más claro el inciso 2, ahora si, voy a ver las sucesiones,

Sí, el punto 2) está más claro. Amplío un poco, diciendo que si alguno de ellos es vacío, su intersección también y, por definición, está  en \( \tau \) y si alguno de ellos es \( \mathbb{R} \), su intersección es el otro conjunto, que está en \( \tau \).
Respecto al punto 3), solo hay que detallar el caso en que \( \forall\,i\in I  \) es \( G_i\in\tau\setminus \{\emptyset,\mathbb{R}\} \), pues en otro caso, se podría prescindir del que es vacío, que no aporta nada a la unión, y si alguno de ellos es \( \mathbb{R} \), la unión de todos sería \( \mathbb{R} \), que pertenece a \( \tau \), por definición.
Como bien apuntas, \( 0\notin G= \bigcup\limits_{i\in I}G_i \), ya que en caso contrario existiría \( j\in I  \) tal que \( 0\in G_j \), pero esto es absurdo. Para completar este punto, hay que ver que \( \mathbb{R}\setminus G \) es finito, pero eso es claro, pues \( \mathbb{R}\setminus G=\bigcap\limits_{i\in I}(\mathbb{R}\setminus G_i)\subset (\mathbb{R}\setminus G_j),\\\forall\,j\in I  \) luego es finito. Una vez probado que \( (\mathbb{R},\tau) \) es un espacio topológico, ya se puede estudiar la convergencia de las sucesiones propuestas. A ver si atinas ...
Añadido:

...
 La unión de conjuntos finitos es finita, $$G_3\textcolor{red}{\subset}{\tau}$$
...

Hay una errata, es \( G_3\in\tau \) 
Saludos