[Richard R Richard]

Me he confundido al interpretar el enunciado y no me salía, pensé que con áreas azul verde y naranja se refería a las que son exclusivamente de ese color y no se incluían las intersecciones sombreadas con la mezcla de colores, pero si se refiere a los círculos completos hay que probar que


$$Area_{azul}+Area_{verde}=Area_{naranja}$$

de donde se debe probar que

$$r^2_{azul}+r^2_{verde}=r^2_{naranja}$$

Yo interpreto que si trazo rectas por los dos puntos de intersección entre círculos estas so paralelas a los lados el cuadrado, y por tanto sus perpendiculares que pasa por los centros de los círculos
azul y verde tambien son paralelas a los lados del cuadrado, y donde intersequen, estará el centro el circulo naranja.
Como el vértice del cuadrado esta inscrito en la circunferencia naranja , el radio naranja es la distancia entre el vértice y la intersección de esas rectas, pero por simple traslación se ve que la proyección horizontal del radio es el radio verde y la vertical el radio azul , luego por Pitágoras se cumple

$$r^2_{azul}+r^2_{verde}=r^2_{naranja}$$ cqd

le ven alguna objeción a mi interpretación

[ani_pascual]

Hola:

Me he confundido al interpretar el enunciado y no me salía, pense que con areas azul verde y naranja se refería a las que son exclusivamente de ese color y no se incluian las interseccones sombreadas con la mezcla de colores,
...

Pues creo que era esa la interpretación del enunciado...
Saludos

[Richard R Richard]

Pues creo que era esa la interpretación del enunciado...
Saludos

Pues nadamos medio en círculos de redundancia del gráfico deducimos $$r^2_{azul}+r^2_{verde}=r^2_{naranja}$$ que sería nuestra hipótesis.
Un lado de cuadrado es $$r_{azul}+r_{verde}+r_{naranja}=L$$ pero no aporta al problema.


Las áreas exclusivas de color son


$$A_{azul}=\pi r^2_{azul}- I_{an}$$
$$A_{verde}=\pi r^2_{verde}-I_{vn}$$

$$A_{naranja}=\pi r^2_{naranja}-I_{vn}-I_{an}$$

donde las I son las intersecciones de área entre círculos

queremos probar que $$A_{azul}+A_{verde}=A_{naranja}$$

Si sumo $$A_{azul}+A_{verde}=\pi r^2_{azul}- I_{an}+\pi r^2_{verde}-I_{vn}$$

si igualo a $$A_{naranja}=\pi r^2_{naranja}-I_{vn}-I_{an}=\pi r^2_{azul}- I_{an}+\pi r^2_{verde}-I_{vn}$$


de donde
$$\pi r^2_{naranja}=\pi r^2_{azul}+\pi r^2_{verde}$$


se obtiene

$$ r^2_{naranja}=r^2_{azul}+r^2_{verde}$$  que es exactamente nuestra hipótesis por lo tanto las áreas azul y verde sumadas son iguales al área  naranja para todos los valores de $$r_{azul}$$ y $$r_{verde}$$  que cumplan   $$ r^2_{naranja}=r^2_{azul}+r^2_{verde}$$ y $$L = r_{naranja}+r_{azul}+r_{verde}$$ con la circunferencias azul y verde tangentes al cuadrado y la naranja con un vértice del cuadrado inscrito...
Podrá relatarlo al revés, sumar las áreas verde y azul, aplicar la hipótesis y deducir que debe cumplirse que debe ser igual al área naranja.

La IA no me resuelve para algún ángulo particular  a la tangente común a la circunferencias verde y azul , así que la construcción se puede hacer perfectamente para cualquier terna pitagórica entera ejemplo $$L=12 ,r_a=4,r_v=3,r_n=5$$ 

[ani_pascual]

Hola:

...
Pues nadamos medio en círculos de redundancia del gráfico deducimos $$r^2_{azul}+r^2_{verde}=r^2_{naranja}$$ que sería nuestra hipótesis.
...

Es que lo que llamas hipótesis es en realidad lo que hay que probar. Si lees los mensajes de Pie, ahí ves cómo se puede hacer.
Saludos

[petras]

Agradecido a todos..
Saludos