[ani_pascual]

Hola:
¿Algún forista que se anime con estos dos ejercicios? De nuevo, es para comparar resultados... 

1) Calcúlese \( \displaystyle\int\!\!\!\int\!\!\!\int_V x\,dx\,dy\,dz \) siendo \( V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,:\,x^2\geq y^2+z^2,x\geq 0, 2x+z\leq 3\} \)

2) Hállese una función de clase \( C^1 \) de tipo \( g:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}  \) para la cual el campo vectorial

\( \vec{F}(x,y,z)=(z+x^2,2yz^2,g(x,y,z))  \)

es conservativo y \( g(0,0,z)=0 \) para todo \( z\in\mathbb{R} \).
Calcúlese \( \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} \) donde la parametrización de la curva \( C \)  es la siguiente:

\( \sigma(t)=(t^4, e^{\sin (2\pi t)},1-\sin (\pi t))\hspace{1cm}t\in [0,1].  \)

Resultados a los que llego...

1) \( \dfrac{3\pi\sqrt{3}}{2} \)
2) \( g(x,y,z)=x+\textcolor{red}{2xz}+2y^2z;\hspace{3cm}\displaystyle\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\textcolor{red}{2} \)
PD: Lo que está en rojo está mal. Gracias Masacroso

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Saludos y gracias con antelación 

[Masacroso]

Resuelvo el apartado 2):

Spoiler

Como \( \mathbb{R}^3 \) es simplemente conexo entonces \( F\cdot \,d r \) será exacto si y solo si es cerrado, es decir, si y solo si \( d(F\cdot \,d r)=0 \), entonces

\[
\begin{align*}
d(F\cdot d r)&=d((z+x^2)\,d x+2yz^2\,d y+g\,d z)\\
&=-dx\,dz-4yz\,dy\,dz+\partial _xg\,dx\,dz+\partial_yg\,dy\,dz\\
&=0\\
\iff &\partial _xg=1\,\land\, \partial _yg=4yz
\end{align*}
\]

Entonces tenemos una ecuación diferencial parcial. Al integrar tenemos que

\[
g(x,y,z)=g(x,0,z)+2y^2z\,\land\, g(x,y,z)=g(0,y,z)+x
\]

De ahí vemos que una posible solución al problema es \( g(x,y,z)=x+2y^2z \).∎

[cerrar]

Para la integral de línea:

Spoiler

Como \( F \) se ha construido para ser conservativo entonces el valor de la integral de línea no depende del camino seguido sino únicamente de los puntos inicial y final, que son \( \sigma (0)=(0,1,1) \) y \( \sigma (1)=(1,1,1) \), entonces si definimos a \( L \) como el segmento rectilíneo que une los puntos \( \sigma (0) \) y \( \sigma (1) \) tenemos que

\[
\int_{C}F\cdot d r=\int_{L}F\cdot d r=\int_{L}((z+x^2)\,d x+2yz^2\,d y+(x+2y^2 z)\,d z)
\]

Si parametrizamos con \( \varphi :[0,1]\to L,\, t\mapsto (t,1,1) \) nos da como resultado \( \int_{[0,1]}(1+t^2)\,d t=1+\frac1{3}=\frac{4}{3} \).

[cerrar]

Añadido: he intentado calcular la primera integral y me salen monstruosidades, ¿seguro está bien copiado el problema?

[ani_pascual]

Hola:

Resuelvo el apartado 2):

Spoiler

Como \( \mathbb{R}^3 \) es simplemente conexo entonces \( F\cdot \,d r \) será exacto si y solo si es cerrado, es decir, si y solo si \( d(F\cdot \,d r)=0 \), entonces

\[
\begin{align*}
d(F\cdot d r)&=d((z+x^2)\,d x+2yz^2\,d y+g\,d z)\\
&=-dx\,dz-4yz\,dy\,dz+\partial _xg\,dx\,dz+\partial_yg\,dy\,dz\\
&=0\\
\iff &\partial _xg=1\,\land\, \partial _yg=4yz
\end{align*}
\]

Entonces tenemos una ecuación diferencial parcial. Al integrar tenemos que

\[
g(x,y,z)=g(x,0,z)+2y^2z\,\land\, g(x,y,z)=g(0,y,z)+x
\]

De ahí vemos que una posible solución al problema es \( g(x,y,z)=x+2y^2z \).∎

[cerrar]

Para la integral de línea:

Spoiler

Como \( F \) se ha construido para ser conservativo entonces el valor de la integral de línea no depende del camino seguido sino únicamente de los puntos inicial y final, que son \( \sigma (0)=(0,1,1) \) y \( \sigma (1)=(1,1,1) \), entonces si definimos a \( L \) como el segmento rectilíneo que une los puntos \( \sigma (0) \) y \( \sigma (1) \) tenemos que

\[
\int_{C}F\cdot d r=\int_{L}F\cdot d r=\int_{L}((z+x^2)\,d x+2yz^2\,d y+(x+2y^2 z)\,d z)
\]

Si parametrizamos con \( \varphi :[0,1]\to L,\, t\mapsto (t,1,1) \) nos da como resultado \( \int_{[0,1]}(1+t^2)\,d t=1+\frac1{3}=\frac{4}{3} \).

[cerrar]

Añadido: he intentado calcular la primera integral y me salen monstruosidades, ¿seguro está bien copiado el problema?

Cometí un error de transcripción e hice los cálculos tomando \( z+z^2 \)   como primera componente del campo \( \vec{F} \), en lugar de \( z+x^2 \)...

Spoiler

Una vez subsanado el error, en efecto, obtengo que \( g(x,y,z)=x +2y^2z  \), y que la integral de línea es \( \displaystyle\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\phi(\sigma(1))-\phi(\sigma(0))=\dfrac{4}{3} \), donde es \( \phi(x,y,z)=xz+\dfrac{x^3}{3}+y^2z^2+K  \) con \( K \) constante, un potencial asociado al campo  \( \vec{F} \).
Corregido

[cerrar]

Respecto al primer ejercicio, creo que lo copié bien...

Gracias y saludos

[Masacroso]

Respecto al primer ejercicio, creo que lo copié bien...

Gracias y saludos

Pues esa integral, utilizando ya sea el teorema de Stokes o sin usarlo, y tanto con coordenadas cartesianas o cilíndricas (también lo intenté con coordenadas hiperbólicas pero es aún peor), me sale una cosa con polinomios dentro de raíces o potencias de la forma \( (2+\operatorname{sen}\theta )^{-n} \) que no veo que tengan integración sencilla. O hay algo que no estoy viendo, algún error que haya cometido y no he visto, o ese ejercicio está mal.

[ani_pascual]

Hola:

...

Pues esa integral, utilizando ya sea el teorema de Stokes o sin usarlo, y tanto con coordenadas cartesianas o cilíndricas (también lo intenté con coordenadas hiperbólicas pero es aún peor), me sale una cosa con polinomios dentro de raíces o potencias de la forma \( (2+\operatorname{sen}\theta )^{-n} \) que no veo que tengan integración sencilla. O hay algo que no estoy viendo, algún error que haya cometido y no he visto, o ese ejercicio está mal.

He usado el cambio de coordenadas:
\( \left\{\begin{array}{l}x=x\\y=r\sqrt{3}\cos\theta\\z=-1+2r\sin\theta\end{array}\right. \) con \( 0\leq r\leq 1,0\leq \theta\leq 2\pi, \sqrt{y^2+z^2}\leq x\leq \dfrac{3-z}{2} \) con Jacobiano \( |J|=2r\sqrt{3} \)
No sé si será correcto... seguro que he metido la pata otra vez 
Saludos

[Masacroso]

Hola:

...

Pues esa integral, utilizando ya sea el teorema de Stokes o sin usarlo, y tanto con coordenadas cartesianas o cilíndricas (también lo intenté con coordenadas hiperbólicas pero es aún peor), me sale una cosa con polinomios dentro de raíces o potencias de la forma \( (2+\operatorname{sen}\theta )^{-n} \) que no veo que tengan integración sencilla. O hay algo que no estoy viendo, algún error que haya cometido y no he visto, o ese ejercicio está mal.

He usado el cambio de coordenadas:
\( \left\{\begin{array}{l}x=x\\y=r\sqrt{3}\cos\theta\\z=-1+2r\sin\theta\end{array}\right. \) con \( 0\leq r\leq 1,0\leq \theta\leq 2\pi, \sqrt{y^2+z^2}\leq x\leq \dfrac{3-z}{2} \) con Jacobiano \( |J|=2r\sqrt{3} \)
No sé si será correcto... seguro que he metido la pata otra vez 
Saludos

Pues sí, ¡parece que ese cambio de variable funciona! Jamás se me habría ocurrido un cambio de variable así, ¿fue inspiración o llegaste a él de alguna manera más o menos razonable?

[ani_pascual]

Hola:

...
 Jamás se me habría ocurrido un cambio de variable así, ¿fue inspiración o llegaste a él de alguna manera más o menos razonable?

La curva intersección entre el plano y el cono, proyectada sobre el plano coordenado \( YZ \) es una elipse centrada en el punto \( (0,0,-1) \) con semieje menor \( a=\sqrt{3} \) y semieje mayor \( b=2 \); de ahí que se me ocurriera ese cambio.

Saludos