[Imanol]

Hola! En los últimos días ha habido muchos mensajes relacionados con la Conjetura de Goldbach en el foro. Aquí va una idea más por si alguien está interesado:

https://doi.org/10.1590/SciELOPreprints.15061

No soy matemático ni me dedico a la investigación, perdón de antemano por el lenguaje poco técnico. También disculpas por si suelto alguna barbaridad en el artículo, es sin duda por falta de conocimiento. Probablemente esté mal, pero espero que alguna idea se pueda aprovechar.

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

 Te comento tu artículo. Empiezo con un pequeño resumen, pero mejorando (con toda humildad) tu notación-

 Fijado un número par \( N>4 \) que no sea el doble de un primo llamas:

 \( S(N)=\{1,2,\dots,N-1\} \) "secuencia de \( N \)"
 \( P(N)=\{\text{primos que dividen a $N$}\} \)
 \( Q(N)=\{q\in S(N)|q\text{ primo}, mcd(q,N)=1\} \) (primos menores que \( N \) que no lo dividen)

 Llamas complementarios a cada par de números \( x,y\in S(N) \) tales que \( x+y=N \).

  Teorema 1. Todo \( p\in P(N) \) tiene un complementario compuesto múltiplo de \( p \).

Prueba

Es inmediato. Se tiene que \( N=2kp \) y por tanto el complementario de \( p \) es \( N-p=(2k-1)p \). Como estamos suponiendo que \( N \) no es el doble de un primo, no puede ser \( 2k-1=1 \).

[cerrar]

 Corolario 1. Todos los múltiplos impares de \( p\in P(N) \) tienen complementarios compuestos, que serán a su vez múltiplos impares de \( p \).
 
 Esto es FALSO en general. Por ejemplo si \( N=12 \) y \( p=3 \) entonces el complementario de \( 3\cdot 3=9 \) es \( 12-9=3 \) que es primo. Es cierto si el múltiplo es distinto de \( N-p \). Pero en cualquier caso no tiene trascendencia en lo que haces después.

 Teorema 2. El complementario de un número primo \( q\in Q(N) \) es un número coprimo con \( q \) con todos sus factores en \( Q(N) \) (esto incluye que sea el \( 1 \)).

Spoiler

Se tiene que \( N-q \) no puede tener como factor primo a \( q \) porque entonces \( N \) sería divisible por \( q \) y no se cumpliría \( mcd(q,N)=1 \); tampoco puede tener como factor primo a \( p\in P(N) \) (divisores primos de \( N \)), porque entonces \( p \) dividiría a \( q \).

[cerrar]

A partir de ahora suponemos que \( N=G \) es un número par que NO cumple la conjetura de Goldbach.

 Entonces para cada primo \( x \) menor que \( \sqrt{N} \) llamas primo asociado \( a(x) \) (esta notación es mía) al menor factor primo de \( N-x \).

- Dado \( x<\sqrt{N} \) primo, \( f(x)=\text{menor factor primo de }N-x \)

 Nótese que \( a(x)<\sqrt{N} \) porque \( N-x \) no es primo (porque si lo fuese si se cumpliría Goldabach), y por tanto tiene un factor primo \( \leq \sqrt{N-x}<\sqrt{N} \).

 Nótese además que \( N-x=a(x)m \).

 Ahora consideras el siguiente conjunto de pares de números complementarios:

 \( (p+2kp,pj) \) con \( p\in P(N) \), \( p<\sqrt{N} \), \( k\geq 0 \), \( j=N/p-2k-1 \) impar
 \( (q+2ka(q),a(q)j) \) con \( q\in Q(N) \), \( q<\sqrt{N} \), \( k\geq 0 \), \( j \) impar

 Y partir de aquí me pierdo.

 Vaya por delante que el ejemplo que haces con \( 128 \) lo entiendo. Y casi te diría que no me interesan por ahora ejemplos. Fíjate que el Teorema 1, Teorema 2, Coloraro 1 (incluso con sus errores) los has escrito y demostrado muy claros.

 Por el contrario no entiendo la idea general de como pretendes terminar la demostración.

Sobre la forma en que está redactada la última parte.

En está ultima parte del trabajo usas argumentos muy difusos "la respuesta parece ser claramente que no", "al menos de manera directa no pasa tal cosa". Hablas de encontrarse con "absurdos", pero no acabas de concretar y sobre todo de justificar de manera precisa el absurdo. Dices cosas como ir "en contra de la distribución misma de naturales", lo cual de nuevo es algo demasiado difuso.

[cerrar]

 En la página 12 dices "Esto quiere decir que no puede haber ningún otro número impar menor que \( N-1 \) fuera de la lista".

 Ahí varias dudas:

- Con la lista te refieres sólo a los números de la forma  \( p+2kp \) y  \( q+2ka(q) \) ó también a los números de la forma \( pj \) y \( a(q)j \)

- ¿Afirmas que ya has probado que todo número impar menor que \( N-1 \) está en esta lista?.

- Exactamente qué argumento concreto usas para afirmar que no puede ser que todo número esté en esa lista.

También puede ser que no sea así el argumento que intentas y que no haya entendido nada.

Saludos.

[Imanol]

Hola Luís,

Muchísimas gracias por leer el artículo y por tus comentarios. Como dije, no soy matemático y no controlo bien el lenguaje técnico. Te agradezco mucho tus aportaciones porque seguro que será más fácil de entender para otros matemáticos que miren el artículo.

Lo del corolario 1 es una metedura de pata que se me escapó, pero es fácil de corregir así que lo corregiré en una nueva versión,  gracias.

En cuanto al método de la lista, hay que entenderlo como un método muy general, puedes coger cualquier par N y seguir los pasos. Justamente para mí el ejemplo de N = 128 es fundamental, no soy capaz de desarrollar la explicación sin él, pero me alegro de que lo puedas visualizar sin necesidad del ejemplo de manera más general. Como todos los primos menores que raíz de 128 tienen números complementarios compuestos, las fórmulas que se desarrollan a partir de los primos menores que raíz de 128 y sus primos asociados (a su veces menores que raíz de 128) nos permiten incluir en la lista todos los números impares compuestos menores que 128 y todos los números complementarios de estos. Esta es la clave, poder incluir en la lista todos los impares compuestos y todos sus números complementarios. Y esto sólo lo puedo hacer mediante las fórmulas si todos los primos menores que raíz de N tienen números complementarios compuestos. Por lo tanto, si hiciera una lista siguiendo los mismos pasos con un hipotético número G, obtendría una lista con todos los impares compuestos menores que G y sus complementarios.

Ahora bien, si tengo una lista con todos los impares compuestos menores que G y sus complementarios, puedo deducir por los teoremas 1 y 2 que todos los factores primos de G, si los tuviera, estarían en la lista (los primos p) y también todos los primos q con números complementarios qq (esto le pasa a 128, en este caso sólo tiene primos q y complementarios qq en su lista). Esto implica que si existiera algún número impar menor que G que no estuviera en la lista, este necesariamente debería ser un primo q con un número complementario q. Es decir, esos números de fuera de la lista demostrarían que G cumple Goldbach, y eso contradice la propia existencia de G.

De ahí la idea principal que quería transmitir: si existe un número par G que no cumple Goldbach y construyo una lista de números siguiendo estos cuatro pasos, esta lista necesariamente debe incluir todos los números impares menores que G. Y mi conclusión final es que esto no puede ser; porque el método, aunque es capaz de incluir todos los números impares compuestos menores que G y todos sus complementarios, no es capaz de incluir todos los impares menores de G, es demasiado limitado. Por tanto, G no puede existir.

Intento contestar a tus tres preguntas:
1)   Con la lista me refiero a todos los números que mencionas, todas las diferentes expresiones.
2)   Afirmo, aunque no soy capaz de enunciarlo formalmente,  que una lista generada de esta manera no puede contener todos los números impares menores que N-1, sencillamente porque el método para crear la lista es demasiado limitado y está condicionado por la propia distribución de los números
3)   Aquí no soy capaz de dar un argumento concreto ni formular ningún teorema. Intento argumentar que no tiene sentido pensar que este método pueda incluir todos los números impares menores que N en la lista, por sus propias limitaciones. Me apoyo en los primos asociados de los primos menores que raíz de N. Los primos asociados al fin y al cabo nos muestran la relación entre los primos menores que raíz de N y los impares compuestos  menores que N. Determinan la distribución de los números impares compuestos con respecto a los primos menores que raíz de N. Si la lista incluyera todos los números impares menores que N, podría sustituir los primos asociados en las fórmulas por otros primos diferentes u otros números; y siempre acabaría obteniendo los mismos números que ya estarían previamente en la lista, lo cual me parece que no tiene sentido. Para mí es como decir que da igual el primo asociado que uses, al final obtendrías los mismos números. Pero esto contradiría la propia distribución de los números.

Espero haberme explicado mejor (no sé si te llegaste a leer la versión 1 o la 2 del artículo, en la 2 las explicaciones finales están más claras). En el caso de que la idea estuviera bien, soy consciente de que no es ninguna demostración formal y que está muy lejos de serlo, pero quizás lo que quería transmitir pueda servir como otra línea de investigación.

De nuevo, gracias.
Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Lo del corolario 1 es una metedura de pata que se me escapó, pero es fácil de corregir así que lo corregiré en una nueva versión,  gracias.

En cuanto al método de la lista, hay que entenderlo como un método muy general, puedes coger cualquier par N y seguir los pasos. Justamente para mí el ejemplo de N = 128 es fundamental, no soy capaz de desarrollar la explicación sin él, pero me alegro de que lo puedas visualizar sin necesidad del ejemplo de manera más general. Como todos los primos menores que raíz de 128 tienen números complementarios compuestos, las fórmulas que se desarrollan a partir de los primos menores que raíz de 128 y sus primos asociados (a su veces menores que raíz de 128) nos permiten incluir en la lista todos los números impares compuestos menores que 128 y todos los números complementarios de estos.

Revisando he visto que incluyes una última columna en el ejemplo con números de la forma \( 3^2+7k \) y sus complementarios. ¿Se supone que esos también los incluye en tu "lista"?.

  Esta es la clave, poder incluir en la lista todos los impares compuestos y todos sus números complementarios. Y esto sólo lo puedo hacer mediante las fórmulas si todos los primos menores que raíz de N tienen números complementarios compuestos. Por lo tanto, si hiciera una lista siguiendo los mismos pasos con un hipotético número G, obtendría una lista con todos los impares compuestos menores que G y sus complementarios.

 Me cuesta mucho darte una respuesta concreta a esto, porque con el último matiz (números de la forma \( 3^2+7k \)) que te he indicado, todavía no tengo claro EXACTAMENTE que lista estás considerando.

2)   Afirmo, aunque no soy capaz de enunciarlo formalmente,  que una lista generada de esta manera no puede contener todos los números impares menores que N-1, sencillamente porque el método para crear la lista es demasiado limitado y está condicionado por la propia distribución de los números

Soy incapaz tan siquiera de entender una idea que sustente eso que afirmas. Lo que he marcado en rojo es extremadamente vago. Es como si alguien dice: la conjetura de Goldbach es cierta, porque hay muchos primos que podemos sumar entre si, como para que no sea posible formar todos los pares. Esto incluso puede sustentarse estadísticamente, pero esta lejos de ser una demostración de nada. En tu caso, como te digo, ni siquiera entiendo nada concreto en que se apoye tu afirmación.

 Además hay algo raro en tu argumento. Para llegar a tu contradicción necesitas.

A- Por un lado probar que en esa "lista" (cuyo contenido aun no tengo 100% claro) está todo número impar menor que \( N-1 \).
N- Por otro lado probar que es imposible que en esa "lista" esté todo número impar menor que uno.

Y no tienes argumentos concretos que sustente ni no uno ni lo otro.

 Yo estuve intentado probar A, pero necesito saber EXACTAMENTE como defines esa lista (me falta que aclares esa columna de números de la forma \( 3^2+7k \) en tu ejemplo). No obstante una vez que concretes eso, ahí veo una forma definida de plantear el problema.

 Sn embargo en cuanto a B, no veo por donde cogerlo. No veo nada sólido ni concreto para intentar justificar esa imposibilidad.

Saludos.

[Imanol]

Hola,
Sobre el punto A, la lista de un hipotético número G contiene exactamente: 1 y G-1, todos los primos impares menores que √G y todos sus números complementarios (que serán impares compuestos), todos los números impares compuestos menores que G y todos sus números complementarios.
Igual que en el ejemplo de 128, la lista se organizaría por columnas. Cada columna tiene su fórmula que relaciona un primo impar menor que √G con su primo asociado (también primo impar menor que √G). En cada columna tienes los múltiplos impares del primo asociado (escritos como pj o qj) y sus números complementarios; estos  expresado como un primo menor que √G + un múltiplo par del primo asociado (números p + 2pk y qx + 2qyk). Algunos números se repetirán  en distintas columnas o aparecerán escritos de formas distintas, no hay problema, lo dejamos tal cual, no afecta a la lista final.
Ahora, para cada primo impar menor que √G necesito incluir en la lista todos sus múltiplos impares menores que G y los números complementarios de estos. Para asegurarme de que los incluyo todos, añado un matiz importante en el cuarto paso: para cada uno de los primos impares menores que √G, debo meter una columna con sus múltiplos expresados como pj o qj (con sus números complementarios correspondientes). Es decir, debo incluir columnas de manera que cada primo impar menor que √G aparezca como primo asociado de otro al menos en una columna. De ahí el matiz de 9 + 2(7k), de ahí que haya metido esta columna en el ejemplo. Tendría que hacer lo mismo para G, en el caso de que algún primo suyo menor que √G no fuera el primo asociado de otro.
Sobre el punto B: las afirmaciones se sustentan en la propia lista, en los números que contiene y en su forma
Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Sobre el punto A, la lista de un hipotético número G contiene exactamente: 1 y G-1, todos los primos impares menores que \( \sqrt{G} \) y todos sus números complementarios (que serán impares compuestos), todos los números impares compuestos menores que G y todos sus números complementarios.

Aquí dices que la lista contienen a  todos los números impares compuestos... Tal como lo habías descrito antes, esto no es inmediato.

Igual que en el ejemplo de 128, la lista se organizaría por columnas. Cada columna tiene su fórmula que relaciona un primo impar menor que √G con su primo asociado (también primo impar menor que √G). En cada columna tienes los múltiplos impares del primo asociado (escritos como pj o qj) y sus números complementarios; estos  expresado como un primo menor que √G + un múltiplo par del primo asociado (números p + 2pk y qx + 2qyk). Algunos números se repetirán  en distintas columnas o aparecerán escritos de formas distintas, no hay problema, lo dejamos tal cual, no afecta a la lista final.
Ahora, para cada primo impar menor que √G necesito incluir en la lista todos sus múltiplos impares menores que G y los números complementarios de estos. Para asegurarme de que los incluyo todos, añado un matiz importante en el cuarto paso: para cada uno de los primos impares menores que √G, debo meter una columna con sus múltiplos expresados como pj o qj (con sus números complementarios correspondientes). Es decir, debo incluir columnas de manera que cada primo impar menor que √G aparezca como primo asociado de otro al menos en una columna. De ahí el matiz de 9 + 2(7k), de ahí que haya metido esta columna en el ejemplo. Tendría que hacer lo mismo para G, en el caso de que algún primo suyo menor que √G no fuera el primo asociado de otro.

Sea como sea pareces querer añadir todos los pasos necesarios como para asegurarte que estén incluídos. Y desde luego eso puede hacerse fácilmente: Bien.

Pero  lo que no veo sentido ninguno es que luego pretendas que es imposible que esa lista incluya los impares. Tu dices:

Sobre el punto B: las afirmaciones se sustentan en la propia lista, en los números que contiene y en su forma

Pero no hay nada concreto ahí. ¿Exactamente porqué "la propia lista", "los números que contiene" y su "forma" impiden que cubra todos los impares si por otro lado acabas de asegurarte que cubra todos los impares? 

Sospecho que te basas en alguna intuición que tienes (y que yo no veo por ningún lado) y que es totalmente errónea.

Por ejemplo, sólo con dos números coprimos \( p,q \) (nada que ver con el uso que haces tu de esas letras) ya pueden generarse como combinación lineal entera, cualquier otro número entero \( n=aq+bq \). Tu lista no incluye todos los números de ese tipo para cada par de primeros \( (p,q) \) que usas; pero sin embargo utiliza "muchos pares de primos". Así que a priori podrán formarse "un montón de números" y, ¿por qué no?, todos los imoares.

En cualquier caso tu puedes seguir en tus trece y pensar que soy yo el que lo lo veo; pero lo que manda es que seas capaz de escribir una demostración concreta de que tal lista es imposible. Eso supone previamente definir de manera precisa la lista (aunque eso es lo de menos) y dar de verdad argumentos específicos y cotejables para demostrar que no puede cubrir todos los impares.

Saludos.

[Imanol]

Hola,

Todo claro, gracias por tu valoración.
Saludos,