[Luis Fuentes]

Hola

RH: Buscando citar un antiguo mensaje tuyo de otro hilo he descubierto que has borrado absolutamente todo. Eso está prohibido expresamente en las reglas foro:

1.5. El borrado o modificación radical de mensajes que deje descontextualizadas las respuestas dadas a los mismos será considerado como un acto vandálico contra el foro y supondrá la expulsión de éste. Para eliminar un mensaje de un hilo será necesario solicitarlo a un Administrador, quien resolverá al respecto.

Pulsa aquí para más información.

El objetivo del foro no es ayudar a un usuario en concreto, sino que las dudas de uno puedan servir para que muchos otros saquen partido de ellas. Por ello, todo usuario que pida ayuda al foro para resolver un problema se compromete tácitamente a permitir que todos los demás puedan leer su pregunta y las respuestas que reciba. En consecuencia, ningún usuario tiene derecho a borrar o alterar sustancialmente sus mensajes (más allá de añadir correcciones o aclaraciones), ni siquiera en caso de que desee abandonar el foro. De acuerdo con la legalidad vigente, los mensajes publicados en el foro pasan a ser propiedad del foro y los usuarios no tienen derecho a pedir que sean retirados. En todo caso, y bajo autorización de los moderadores, se podrán retirar aquellos mensajes que el autor prefiera eliminar por contener errores graves o afirmaciones polémicas o de dudosa conveniencia que, sin violar las reglas del foro, el autor se arrepienta de haber formulado en público.

Por esta misma razón se desaconseja a los usuarios que respondan dudas de otros usuarios mediante mensajes privados. Las dudas deben resolverse en mensajes públicos para que todos los usuarios del foro puedan beneficiarse de las respuestas. Todo mensaje privado que formule una pregunta de carácter matemático podrá (y deberá) ser publicado en un nuevo hilo sin necesidad del consentimiento previo de quien ha formulado la pregunta.

[cerrar]

Has dejado dexcontextualizadas las respuestas que generosamente otros usuarios te aportaban. Es una tremenda falta de consideración con ellos y con el foro en general.

Saludos.

[RH]

Entonces, ha sido un placer participar en vuestro foro, si usted me banea, me despido.

Si he incumplido las reglas, pues ya está (no es excusa que no me supiera esa norma).

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces, ha sido un placer participar en vuestro foro, si usted me banea, me despido.

Si he incumplido las reglas, pues ya está (no es excusa que no me supiera esa norma).

En realidad te estoy dando la oportunidad de una explicación. Me parece de sentido común, que no se deba de hacer eso sin al menos consultar con la administración. Es una cuestión de pura educación: es como dejar a los demás usuarios con la palabra en la boca.

Saludos.

[RH]

Ah, entonces, vi que muchos mensajes aparecían en la citas de otros usuarios, otros tenían las gráficas que suelo poner que no aportan nada y los hilos estaban ya solucionados.

Hice una limpieza de mensajes innecesarios.

Absolutamente que he leído las respuestas que me dieron de los hilos.

[RH]

Y sobre lo de este hilo, esto es lo más analítico que he obtenido.

Spoiler

Definición del modelo original
Partimos de la función:
\( \Phi(n) = \frac{1}{A} \sum_{a=1}^{A} \exp\left( 2\pi i \frac{a^{n-1}-1}{n} \right) \)
Esta función mide cuánto se parece el número \( n \) a un primo desde el punto de vista del pequeño teorema de Fermat.
Si \( n=p \) es primo, entonces \( a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \), y por tanto:
\( \Phi(p)=1 \)
Si \( n \) es compuesto, las fases se distribuyen casi aleatoriamente y típicamente:
\( \Phi(n) \approx 0 \)
Introducción del peso tipo von Mangoldt
Definimos la función ponderada:
\( \Psi(n) = \Lambda(n) \Phi(n) \)
donde
\( \Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{si } n=p^k \ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \)
es la función de von Mangoldt. Ahora solo contribuyen las potencias de primos.
Energía acumulada ponderada
Definimos:
\( E(N) = \sum_{n \le N} \Lambda(n) (1 - \Re \Phi(n)) \)
Como \( \Phi(p)=1 \), los primos no contribuyen. Por tanto:
\( E(N) = \sum_{\substack{p^k \le N \ k \ge 2}} \log p , (1 - \Re \Phi(p^k)) \)
Caso \( p^2 \)
Observamos que \( p^2-1 = (p-1)(p+1) \). Escribimos la expansión \( p \)-ádica:
\( a^{p-1} = 1 + p k_1(a) \pmod{p^2} \)
Entonces:
\( a^{p^2-1} = (a^{p-1})^{p+1} \equiv 1 + p k_1(a) \pmod{p^2} \)
Dividiendo por \( p^2 \) obtenemos:
\( \frac{a^{p^2-1}-1}{p^2} \equiv \frac{k_1(a)}{p} \pmod 1 \)
Por tanto:
\( \Phi(p^2) = \frac{1}{A} \sum_{a=1}^{A} \exp\left( 2\pi i \frac{k_1(a)}{p} \right) \)
Como \( k_1(a) \) se distribuye casi uniformemente módulo \( p \), se obtiene \( \Phi(p^2) \approx 0 \). Entonces la contribución de todos los \( p^2 \le N \) es:
\( \sum_{p^2 \le N} \log p \sim \sqrt{N} \)
Este es el término dominante.
Caso \( p^3 \)
Usamos una expansión más fina:
\( a^{p-1} = 1 + p k_1(a) + p^2 k_2(a) \pmod{p^3} \)
Al elevar a la potencia \( p^2+p+1 \) y simplificar módulo \( p^3 \) obtenemos:
\( a^{p^3-1} \equiv 1 + p k_1(a) + p^2 L(a) \pmod{p^3} \)
Entonces:
\( \frac{a^{p^3-1}-1}{p^3} \equiv \frac{k_1(a)}{p^2} + \frac{L(a)}{p} \pmod 1 \)
Por tanto:
\( \Phi(p^3) = \frac{1}{A} \sum_{a=1}^{A} \exp\left( 2\pi i \left( \frac{k_1(a)}{p^2} + \frac{L(a)}{p} \right) \right) \)
La distribución ahora es casi uniforme módulo \( p^2 \), y típicamente:
\( |\Phi(p^3)| \ll \frac{1}{p} \)
La contribución total es entonces:
\( \sum_{p^3 \le N} \log p \cdot O\left(\frac{1}{p}\right) \sim \log N \)
Mucho menor que el caso cuadrado.
Jerarquía de contribuciones
Se obtiene la estructura:
\( p \) \( \rightarrow \) contribución cero
\( p^2 \) \( \rightarrow \) contribución dominante \( \sim N^{1/2} \)
\( p^3 \) \( \rightarrow \) contribución \( \sim \log N \)
\( p^k, k \ge 4 \) \( \rightarrow \) aún menores
Por tanto:
\( E(N) \sim \sum_{p^2 \le N} \log p \sim N^{1/2} \)
Conclusión estructural
La escala crítica \( N^{1/2} \) emerge exclusivamente de las potencias cuadradas de primos. Esa es exactamente la escala del término de error bajo la hipótesis de Riemann:
\( \sum_{n \le N} \Lambda(n) = N + O(N^{1/2+\varepsilon}) \)
Sin usar \( \zeta \) explícitamente, la frontera \( 1/2 \) aparece de manera natural a partir de la expansión \( p \)-ádica, la distribución del cociente de Fermat y la densidad de cuadrados de primos.

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

Ah, entonces, vi que muchos mensajes aparecían en la citas de otros usuarios, otros tenían las gráficas que suelo poner que no aportan nada y los hilos estaban ya solucionados.

Hice una limpieza de mensajes innecesarios.

Absolutamente que he leído las respuestas que me dieron de los hilos.

Pues te pongo la regla y sigues sin leerla... en el Spoiler que he citado dice:

El objetivo del foro no es ayudar a un usuario en concreto, sino que las dudas de uno puedan servir para que muchos otros saquen partido de ellas. Por ello, todo usuario que pida ayuda al foro para resolver un problema se compromete tácitamente a permitir que todos los demás puedan leer su pregunta y las respuestas que reciba. En consecuencia, ningún usuario tiene derecho a borrar o alterar sustancialmente sus mensajes (más allá de añadir correcciones o aclaraciones), ni siquiera en caso de que desee abandonar el foro. De acuerdo con la legalidad vigente, los mensajes publicados en el foro pasan a ser propiedad del foro y los usuarios no tienen derecho a pedir que sean retirados. En todo caso, y bajo autorización de los moderadores, se podrán retirar aquellos mensajes que el autor prefiera eliminar por contener errores graves o afirmaciones polémicas o de dudosa conveniencia que, sin violar las reglas del foro, el autor se arrepienta de haber formulado en público.

Entonces no se trata de tu ya hayas leído las respuestas. Se trata de que en el foro queden registradas las cuestiones debatidas, por si pueden ser de ayuda a otras personas.

Voy a restaurar los mensajes que has borrado. Al menos aquellos que forman parte de una conversación con otra persona.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Y sobre lo de este hilo, esto es lo más analítico que he obtenido.

Spoiler

Definición del modelo original
Partimos de la función:
\( \Phi(n) = \frac{1}{A} \sum_{a=1}^{A} \exp\left( 2\pi i \frac{a^{n-1}-1}{n} \right) \)
Esta función mide cuánto se parece el número \( n \) a un primo desde el punto de vista del pequeño teorema de Fermat.
Si \( n=p \) es primo, entonces \( a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \), y por tanto:
\( \Phi(p)=1 \)
Si \( n \) es compuesto, las fases se distribuyen casi aleatoriamente y típicamente:
\( \Phi(n) \approx 0 \)
Introducción del peso tipo von Mangoldt
Definimos la función ponderada:
\( \Psi(n) = \Lambda(n) \Phi(n) \)
donde
\( \Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{si } n=p^k \ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \)
es la función de von Mangoldt. Ahora solo contribuyen las potencias de primos.
Energía acumulada ponderada
Definimos:
\( E(N) = \sum_{n \le N} \Lambda(n) (1 - \Re \Phi(n)) \)
Como \( \Phi(p)=1 \), los primos no contribuyen. Por tanto:
\( E(N) = \sum_{\substack{p^k \le N \ k \ge 2}} \log p , (1 - \Re \Phi(p^k)) \)
Caso \( p^2 \)
Observamos que \( p^2-1 = (p-1)(p+1) \). Escribimos la expansión \( p \)-ádica:
\( a^{p-1} = 1 + p k_1(a) \pmod{p^2} \)
Entonces:
\( a^{p^2-1} = (a^{p-1})^{p+1} \equiv 1 + p k_1(a) \pmod{p^2} \)
Dividiendo por \( p^2 \) obtenemos:
\( \frac{a^{p^2-1}-1}{p^2} \equiv \frac{k_1(a)}{p} \pmod 1 \)
Por tanto:
\( \Phi(p^2) = \frac{1}{A} \sum_{a=1}^{A} \exp\left( 2\pi i \frac{k_1(a)}{p} \right) \)
Como \( k_1(a) \) se distribuye casi uniformemente módulo \( p \), se obtiene \( \Phi(p^2) \approx 0 \). Entonces la contribución de todos los \( p^2 \le N \) es:
\( \sum_{p^2 \le N} \log p \sim \sqrt{N} \)
Este es el término dominante.
Caso \( p^3 \)
Usamos una expansión más fina:
\( a^{p-1} = 1 + p k_1(a) + p^2 k_2(a) \pmod{p^3} \)
Al elevar a la potencia \( p^2+p+1 \) y simplificar módulo \( p^3 \) obtenemos:
\( a^{p^3-1} \equiv 1 + p k_1(a) + p^2 L(a) \pmod{p^3} \)
Entonces:
\( \frac{a^{p^3-1}-1}{p^3} \equiv \frac{k_1(a)}{p^2} + \frac{L(a)}{p} \pmod 1 \)
Por tanto:
\( \Phi(p^3) = \frac{1}{A} \sum_{a=1}^{A} \exp\left( 2\pi i \left( \frac{k_1(a)}{p^2} + \frac{L(a)}{p} \right) \right) \)
La distribución ahora es casi uniforme módulo \( p^2 \), y típicamente:
\( |\Phi(p^3)| \ll \frac{1}{p} \)
La contribución total es entonces:
\( \sum_{p^3 \le N} \log p \cdot O\left(\frac{1}{p}\right) \sim \log N \)
Mucho menor que el caso cuadrado.
Jerarquía de contribuciones
Se obtiene la estructura:
\( p \) \( \rightarrow \) contribución cero
\( p^2 \) \( \rightarrow \) contribución dominante \( \sim N^{1/2} \)
\( p^3 \) \( \rightarrow \) contribución \( \sim \log N \)
\( p^k, k \ge 4 \) \( \rightarrow \) aún menores
Por tanto:
\( E(N) \sim \sum_{p^2 \le N} \log p \sim N^{1/2} \)
Conclusión estructural
La escala crítica \( N^{1/2} \) emerge exclusivamente de las potencias cuadradas de primos. Esa es exactamente la escala del término de error bajo la hipótesis de Riemann:
\( \sum_{n \le N} \Lambda(n) = N + O(N^{1/2+\varepsilon}) \)
Sin usar \( \zeta \) explícitamente, la frontera \( 1/2 \) aparece de manera natural a partir de la expansión \( p \)-ádica, la distribución del cociente de Fermat y la densidad de cuadrados de primos.

[cerrar]

Ahí la IA hace una aproximación asintótica del comportamiento de \( E(N) \), donde usa por en medio algunas cosas digamos razonables como supuesto, pero no rigurosamente probadas.

Y en cualquier caso, ¿conclusión?¿utilidad?  (si me vas a copiar una respuesta de la IA, ya le pregunto yo directamente).

Saludos.

[RH]

El problema es que cada vez me encuentro con una dimensión mayor en complejidad. Mi intuición me decía ampliar la continuidad de la aritmética modular discreta, me encontré con esa función, sacada del teorema de Wilson, y esto último es sacado de esa ecuación. Evidentemente me tengo que apoyar en un 90% en la IA, porque mi nivel matemático no es suficiente para resolver, etc.

La cuestión es que engancha la rapidez y juego que da esta IA, sé que es contraproducente y es mejor ir desde la base hasta lo complejo por uno mismo tomándose uno su tiempo, pero como me llama tanto la atención me salto niveles.

Estoy viendo a ver que puedo sacar por el momento de esto.

Saludos.

[RH]

Hola

1: Mis conocimientos sobre la hipótesis de Riemann son muy limitados. No obstante sigo pensando que no te paras a analizar lo que está haciendo la IA ni lo que escribes.

 Es llamativo por ejemplo que hables (tu o la IA) de la constante de Euler.-Mascheroni y luego no se use para nada ni en el modelo, ni en el código de matlab.

\( n_{\text{vector}} = 3:2:1000 \)

y la constante de Euler-Mascheroni:

\( \gamma_{em} = 0.57721566 \)

En cuanto al código y las gráficas que haces no se que conclusión pretendes que se saque de ahí. Gráfícas un término relacionado remotamente con la hipóteis de Rieman, ya que \( n^\alpha cos(\gamma log(n))=Re(n^{\alpha+i\gamma}) \); los ceros de Riemann no triviales se conjetura que aparecen cuando \( \alpha=0.5 \). Por otra parte el término \( n^\rho \) siendo \( \rho \) un cero de Riemann 2 aparece en la suma que definen ciertas funciones relevantes en el estudio de la hipótesis.

Ahora bien en la gráfica no se ve ninguna relación especial entre poner \( \alpha=0.5 \) ó  \( \alpha=0.6 \) y los primos. Porque el programa FUERZA que los primos se representen sobre la curva de valor \( \alpha=0.5 \). Entonces esa aparente correlación es forzada.

En cuanto al segundo programa, lo que hace es analizar la diferencia entre \( \psi(x) \) y \( x \) cuyo cociente bajo la veracidad de la hipótesis de Riemann se ha demostrado que es \( 1 \). Eso quiere que ambos términos tienen el mismo orden de magnitud y la diferencia crece mucho más lentamente que cada uno de ellos, que es más o menos lo que se ve en la gráfica que genera tu programa: nada nuevo.

En cuanto a tu último mensaje: bla, bla, bla, bla, bla.. pero yo no veo 3. ninguna conclusión por ningún lado.

Saludos.

Te respondo los puntos en cursiva.

1. Le pedí a IA que me hiciera el código, infinidad de veces, de forma que los primos emanaran de la función, pero hizo lo que quiso, una chapuza me hizo, pero me parecía que iba bien encaminada la teoría.

2. Esto hace que no se pueda avanzar en la resolución, me parece que al depender de los ceros hace que sea inevitable recurrir a algo externo de la función para demostrar que no puede haber un 0 fuera de la línea. Aunque intuitivamente un cero fuera de la línea 1/2 desestabilizaría todo el sistema, de ahí me moví a intentar no depender de zeta, en el anterior mensaje, aunque para traducirlo en una equivalencia de la función zeta (todos los ceros y sólo los ceros) parece muy complicado.

3. Ninguna conclusión: Es verdad, lo he dejado en el aire. Diría que habría que buscar que la señal de continuidad obtenida de forma aritmética en un conjunto infinito, tuviera una coherencia. Esto lo vi en el algoritmo de primos del otro hilo, donde hablamos metafóricamente de la energía, y cada número daba una representación estadística al graficar el test de primalidad de forma que se podía ver patrones estructurados en primos y compuestos.

En realidad no sé como he llegado hasta este punto, porque no he encontrado referencias de esto en teoría de números, desconozco si pude tener alguna utilidad.

Buen día.

[Luis Fuentes]

Hola

1. Le pedí a IA que me hiciera el código, infinidad de veces, de forma que los primos emanaran de la función, pero hizo lo que quiso, una chapuza me hizo, pero me parecía que iba bien encaminada la teoría.

¿Y por qué crees que ibas bien encaminado? Esto es cosa tuya. Pero, ¿honestamente?¿crees qué sabes de lo que hablas?. Hace unos meses planteaste una cuestión en el foro que se resolvía haciendo unas cuentas básicas y elementales con números complejos, nivel bachillerato o primero de universidad; decías no dominar eso. ¿Y pretendes entender y tener intuiciones valiosas sobre la conjetura de Riemann, que es  muchísimo más complicada de entender y manipular?. O más que complicada, hace falta mucho más bagaje previo para poder estar en condiciones de estudiarla.

Le echas la culpa a la IA, diciendo que hace chapuzas y "lo que quiere". Pero yo creo que es justo al revés. La IA ha sido entrenada, entre otras cosas, con montones de publicaciones y material sobre matemáticas y en particular la hipótesis de Riemann. Entonces esa ella la que intenta dar sentido a lo que le dices y te propone cosas que dudo que hubiesen salido de ti. Por esto también en tus programas, casi siempre se termina cayendo en cosas ya conocidas: aquellas con las que se ha entrenado la IA.

2. Esto hace que no se pueda avanzar en la resolución,

¿La resolución de qué?.

me parece que al depender de los ceros hace que sea inevitable recurrir a algo externo de la función para demostrar que no puede haber un 0 fuera de la línea. Aunque intuitivamente un cero fuera de la línea 1/2 desestabilizaría todo el sistema, de ahí me moví a intentar no depender de zeta, en el anterior mensaje, aunque para traducirlo en una equivalencia de la función zeta (todos los ceros y sólo los ceros) parece muy complicado.

Cosas como "desastibilizar todo el sistema" son absolutas vaguedades.

Es verdad, lo he dejado en el aire. Diría que habría que buscar que la señal de continuidad obtenida de forma aritmética en un conjunto infinito, tuviera una coherencia. Esto lo vi en el algoritmo de primos del otro hilo, donde hablamos metafóricamente de la energía, y cada número daba una representación estadística al graficar el test de primalidad de forma que se podía ver patrones estructurados en primos y compuestos.

Vaguedes. Eso de los "patrones" en bruto; es no decir nada. ¡Claro qué cualquier representación gráfica que dependa de la primalidad o no de un número, presentará alguna suerte de cadencia visual sobre los primos!.

En realidad no sé como he llegado hasta este punto, porque no he encontrado referencias de esto en teoría de números, desconozco si pude tener alguna utilidad.

Has llegado a este punto con la IA, que da sentido a tus ideas bebiendo de cosas conocidas. Dices "no he encontrado referencias en teoría de números". ¿Tienes acceso a las bases de datos de artículos de investigación? La mayoría son de pago y sólo las universidades o pagando se tiene acceso. Incluso si se tiene acceso uno tiene que hacer un estudio exhaustivo: tomar un artículo de referencia sobre un tema, leerlo; revisar toda (o mucha) la bibliografía que enlaza; y lo su vez la que enlazan esos artículos y así sucesivamente. También rebuscar artículos más recientes, de la última década. Contactar con alguien cuya investigación esté centrada en tu punto de interés, para que te diga donde leer sobre el estado de conocimiento actual del asunto y que problemas abiertos hay también ayuda. Y sobre todo no saltarse pasos y estudiar para entender toda la teoría necesaria para abordar el problema.

Por cierto la IA es muy mala todavía (al menos la que no es de pago) buscando bibliografía; a veces directamente se inventa artículos que no existen.

Saludos.