Hola
Quisiera demostrar por favor, por qué la transformación \( S(w)=\displaystyle\frac{1+w}{1-w} \), transforma los rayos \( \theta=\theta_0 \) en arcos de circunferencias.
Nota que:
\( s(w)=\dfrac{2}{1-w}-1 \)
Dado que sumar constantes son traslaciones y multiplicar corresponde a escalar (homotecias), basta que compruebes que \( \dfrac{1}{1-w} \) transforma rayos por el origen en circunferencias. Pero si \( w=a+bi \) es un rayo, \( a=kb \) y si \( z=x+yi \):
\( z=\dfrac{1}{1-w}\quad \Rightarrow{}\quad |z|=|1-w|^{-1} \)
\( z=\dfrac{1-\bar w}{|1-w|^2}=|z|^2(1-\bar w)=(x^2+y^2)(1-a+bi) \)
de donde:
\( a=1-\dfrac{x}{x^2+y^2} \)
\( b=\dfrac{y}{x^2+y^2} \)
Como \( a=kb \):
\( \dfrac{k\color{red}y\color{black}}{x^2+y^2}=1-\dfrac{x}{x^2+y^2} \)
\( ky=x^2+y^2-x \)
\( x^2+y^2-x-ky=0 \)
\( (x-1/2)^2+(y-k/2)^2=(k^2+1)/4 \) circunferencia
Saludos.
CORREGIDO (gracias ani_pascual)
