Hola Pie , si, escribi mal, es arccos, gracias. Sigo en spoiler con las otras aclaraciones.
Spoiler
La suma que hago es para justificar que $$\angle{ACB}+\angle{BAC}$$ suman 90° y que $$\angle{BAC}$$ está conformado por un angulo $$\angle{ACB}$$ y otros dos, llamemosles incognitos. Como el triangulo $$\triangle{OCB}$$ está compuesto por dos $$\triangle{AMO}$$ (Esto es asi porque $$\angle{BOC}$$ es el angulo subtendido al radio que forma la cuerda $$\overline{BC}$$ y por lo tanto es es el doble del angulo subtendido a la circunsferencia $$\angle{BAC}$$. Y como la Hipotenusa de $$\triangle{BAC}$$ es el doble que la de los dos triangulos que se formar al dividir el triangulo isoceles $$\triangle{BOC}$$ por su altura, entonces $$\triangle{AMO}\equiv{\frac{BOC}{2}}$$ *. Ahora, con este dato vuelve la sumatoria, que uso para indicar que la suma de $$\angle{BCO}$$ mas la mitad de $$\angle {BOC}$$ es 90°. Y por lo tanto $$\angle{BCO}+\angle{BAC}=90°$$ Si aplico esto al segmento $$\overline{BC}$$ me queda una recta perpendicular a esta y paralela a $$\overline{AB}$$ (llamemos a esta recta $$\overline{JK}$$. Como sé que $$\overline{BC}\parallel\overline{MO}$$ Entonces la prolongacion de $$\overline{MO}$$ intersecta $$\overline{JK}$$ a 90°. Luego $$\overline{OC}$$ es la hipotenusa del triangulo equivalente a $$\triangle{AMO}$$ que he agregado, por lo tanto $$\triangle{CGO}$$ es congruente con $$\triangle{AMO}$$ por lo que $$\overline{MO}\equiv{\overline{OG}}$$.
La hipotenusa de $$\triangle{BCM}$$ es la diagonal del rectangulo $${MBCG}$$ y de ahi deduzco que $$\angle{MCN}=\angle{MCO}$$. Como $$\angle{BCM}= \phi +n$$ y $$\angle{MCG}=\phi +n$$ y $$\overline{MO}\equiv{\overline{OG}}$$ entonces sé que $$\overline{OC}$$ divide $$\overline{MG}$$ por la mitad. De ahi deduzco que $${MBCG}$$ es necesariamente un cuadrado.
Puedo intentar explicarlo mejor, por el momento no me sale (se me quemaron las neuronas).
(Dejo constancia de algo que acabo de ver y simplifica muuucho las cosas: Como el isoceles $$\triangle{BOC}$$ esta compuesto por dos triangulos conguentes con $$\triangle{MAO}$$ y sus bases son el cateto mayor del triangulo $$\triangle{CBN}$$ cuyo cateto menor es $$\overline{\frac{MB}{2}}$$ se puede deducir que la altura de $$\triangle{BOC}$$ es el doble que su base. Puedo desarrollar el argumento pero como dije, se me han quemado de momento...)
* Esto seguramente esta mal expresado, espero que se entienda.
Creo que te estás complicando demasiado. La mayoría de las cosas que dices se cumplen para cualquier ángulo \( \phi \), y las que solo se cumplen para este en concreto no veo que las justifiques, por ejemplo esto que dices:
La hipotenusa de $$\triangle{BCM}$$ es la diagonal del rectangulo $${MBCG}$$ y de ahi deduzco que $$\angle{MCN}=\angle{MCO}$$.
No es cierto en general. Si tomas los puntos medios de un rectángulo esa igualdad de ángulos solo se cumple si es un cuadrado, pero tú parece que quieres usar eso para justificar que lo es. Entonces es un poco como el pez que se muerde a la cola..
En general creo que con estos problemas lo que siempre tiene que plantearse uno es si está usando todos los datos dados (y si los está usando bien), qué cosas se cumplen en general (para cualquier ángulo) y cuales no, y a partir de ahí tratar de justificar las que solo se cumplen para ese ángulo en concreto (se que así dicho parece fácil, pero esa sería un poco la idea general para no quedarse atascado usando cosas que, por si solas, no acaban de funcionar..
)
Saludos.
