[Pie]

Spoiler

Por angulo subtendido $$\angle{BOC}=2\angle{BAC}$$. Y $$\angle{COH}+\angle{HCO}=90°$$. Y como $$\frac{\angle{BOC}}{2}+\angle{OCB}=90°$$ entonces $$\angle{BCO}=90°+\angle{COH}$$ (Aquí se establece que $$\angle{PCB}=\angle{BAC}$$).  Con esto podemos determinar que los angulos del triangulo $$\triangle{PJA}$$ son congruentes con los de $$\triangle{PHB}$$. Y como $$CP=PK$$ forman angulos congruentes con $$\overline{AB}$$, y los extremos $$A$$, $$K$$, $$B$$, $$C$$ son secantes de la misma circunsferencia, entonces $$\overline{AP}=\overline{PB}$$.
De ahi en mas: $$\angle{PCB}\equiv{BCA}$$, $$\angle{BCP}\equiv{BAC}$$ y por lo tanto $$\triangle{PBC}$$ es semejante a $$\triangle{ABC}$$ , su cateto menor es $$\frac{1}{2}\overline{AB}$$, y su cateto mayor $$=\overline{BC}$$. Por lo que $$2(\arccos(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}))=\phi$$
$$\phi\approx{70.528}$$

[cerrar]

Spoiler

La verdad es que me cuesta seguirte. No veo claro cómo justificas la igualdad de ángulos (sospecho que hay una o varias erratas, ya que \( \angle BCO \) nunca puede ser obtuso) y tampoco la igualdad \( \overline{AP} = \overline{PB} \). Te pongo cómo lo haría yo, porque el resto del argumento sí lo veo bien:



Para justificar la semejanza \( \triangle{PJA} \sim{} \triangle{PHB} \) nota simplemente que \( \triangle{AOB} \) es isósceles, luego \( \angle JAP = \angle PBH \), y como ambos son rectángulos son semejantes.

Para justificar que \( P \) es punto medio de \( AB \) hay que demostrar que no solo son semejantes, sino también congruentes (que todos sus lados son iguales). Una forma:

LLamando por ejemplo \( M \) y \( N \) a las intersecciones de las rectas \( PC \) y \( PK \) (respectivamente) con la circunferencia. Los triángulos \( \triangle{MPN} \) y \( \triangle{KPC} \) son semejantes, ya que sus ángulos inscritos abarcan los mismos arcos de circunferencia. Y como \( \triangle{KPC} \) es isósceles, entonces \( \triangle{MPN} \) también lo es, luego \( MC = NK \). Finalmente, como \( H \) y \( J \) son puntos medios de \( MC \) y \( NK \) se deduce que \( PJ =PH \) y por tanto \[ \triangle{PJA} \equiv \triangle{PHB} \]..

[cerrar]

Saludos.

[MNDK]

Gracias Pie, esta buena esa alternativa  . Definitivamente tengo que revisar mejor porque otra vez cometí un error medio dislexico, :

Spoiler

quise poner: $$\angle{BCP}+\angle{HCO}+\angle{BAC}=90°$$.
La igualdad de angulos la justifico porque sé que $$\angle{BOC}=2\angle{BAC}$$ , y como $$\triangle{OHC}$$ es rectangulo,  $$2\angle{BAC}+\angle{HCO}=90°$$. Cuando divido $$\triangle{BOC}$$ por la mitad me queda un triangulo rectangulo $$90°+\angle{BAC}+\angle{BAC}+\angle{HCO}$$

[cerrar]

Pregunta al margen: ¿está mal decir que los angulos de dos triangulos son congruentes cuando ambos triangulos son semejantes?

[Pie]

Pregunta al margen: ¿está mal decir que los angulos de dos triangulos son congruentes cuando ambos triangulos son semejantes?

No es que controle mucho la terminología matemática pero diría que no. De hecho, técnicamente seguramente sea más correcto que decir "iguales", ya que a lo mejor alguien por ángulos (o lados, etc..) iguales podría entender que deban tener las mismas coordenadas, orientación, etc.. y no que simplemente tengan la misma medida. Pero al decir iguales en estos contextos nos referimos a esto último y creo que se sobreentiende..

Saludos.