Hola:
Hola, tal vez tendría que probar que para todo conjunto abierto del dominio de p , su imagen a través de p también lo es, y lo mismo con los conjuntos cerrados (la imagen también es un conjunto cerrado). ¿solo eso?
...
En efecto, y en este caso, como \( \tau/R \) es, por definición, una topología
final para \( p \) (i.e., dado \( V\subseteq X/R \) es \( V\in \tau/R \) si y solo si \( p^{-1}(V)\in\tau \)), solo hay que probar que \( p^{-1}p (G)\in\tau \) para cada \( G\in\tau \), y lo mismo para cada cerrado, \( p^{-1}p (F)\in{\cal C}_{\tau} \) para cada \( F\in {\cal C}_{\tau} \).
Respecto a probar que \( (X/T,\tau/R) \) es \( T_0 \), hay que partir de los elementos distintos de \( X/R \) y encontrar un entorno abierto de alguno de ellos al que no pertenezca el otro, y solo hay que aplicar la definición de \( R \), 😉
¡Ánimo!
Saludos
PD: Por si es de interés para algún lector/a, añado en el spoiler una posible resolución del ejercicio propuesto.Una resolución
Es suficiente probar que la \( p- \)saturación de cada abierto (resp. cerrado) es abierto (resp. cerrado). Sea \( G\in\tau \) y sea \( x\in p^{-1}p(G) \), entonces \( p(x)\in p(G)\Longrightarrow \exists\,y\in G \) tal que \( p(x)=p(y)\Longleftrightarrow [x]=[y]\Longleftrightarrow Cl\{x\}=Cl\{y\}\Longrightarrow y\in Cl\{x\}\Longrightarrow \{x\}\cap G\neq \emptyset \) (\( G\in\tau \), luego es un entorno de \( y \)) lo cual implica que \( x\in G \), de donde \( p^{-1}p(G)\subseteq G \) y así es \( p^{-1}p(G)=G\in \tau \), ya que la inclusión \( G\subseteq p^{-1}p(G) \) es siempre cierta. En definitiva, \( p \) es abierta.
Veamos ahora que \( p \) es cerrada. Sea \( F\in {\cal C}_{\tau} \) un cerrado en \( (X,\tau) \). Es claro que \( F\subseteq p^{-1}p(F) \); veamos que también es \( p^{-1}p(F)\subseteq F \). Sea \( x\in p^{-1}p(F)\Longrightarrow p(x)\in p(F)\Longrightarrow \exists\,y\in F \) tal que \( p(x)=p(y)\Longleftrightarrow [x]=[y]\Longleftrightarrow Cl\{x\}=Cl\{y\}\Longrightarrow x\in Cl\{y\} \).
Entonces necesariamente es \( x\in F \), pues de lo contrario, \( x\in (X\setminus F)\in\tau \), luego \( (X\setminus F)\cap \{y\}\neq \emptyset \) de donde \( y\in X\setminus F \), que es una contradicción, pues es \( y\in F \). En definitiva, \( p^{-1}p(F)=F\in {\cal C}_{\tau} \) y así \( p(F)\in {\cal C}_{\tau/R} \) y es \( p \) cerrada.
Finalmente, dados \( z,w\in X/R \) con \( z\neq w \) y suponiendo que \( z=p(x),w=p(y) \) con \( x,y\in X \) (\( p \) es sobreyectiva), se tiene que \( p(x)\neq p(y)\Longleftrightarrow [x]\neq [y]\Longleftrightarrow Cl\{x\}\neq Cl\{y\} \); por tanto, o bien \( x\notin Cl\{y\} \) en cuyo caso existe \( G\in\tau \) con \( x\in G \) e \( y\notin G \), o bien \( y\notin Cl\{x\} \) en cuyo caso existe \( G\in\tau \) con \( y\in G \) y \( x\notin G \). Así, o bien existe \( p(G)\in \tau/R \) con \( z=p(x)\in P(G) \) y \( w=p(y)\notin p(G) \), o bien existe \( p(G)\in \tau/R \) con \( w=p(y)\in P(G) \) y \( z=p(x)\notin p(G) \), con lo cual \( \left(X/R,\tau/R\right) \) es \( T_0 \).
Añadido La parte final en rojo, no la veo clara. Si hay algún forista que ese anime a corregirla, estaré agradecido 🥲
Añadido al Añadido 😅
Me parece que está bien, pues si \( x\in Cl\{y\} \) e \( y\in Cl\{x\} \), se tendría que \( \{x\}\subset Cl \{y\} \) y \( \{y\}\subset Cl\{x\} \), lo que implica que \( Cl \{x\}\subset Cl\{y\} \) y \( Cl\{y\}\subset Cl\{x\} \) en cuyo caso \( Cl\{x\}=Cl\{y\}\Longleftrightarrow p(x)=p(y)\Longleftrightarrow z=w \), que es absurdo.
Saludos
