Estimado Rincón
Hay un algebra que el libro de texto deja al lector, y no me queda bien, como debe.
Ahí va el texto:
Supongamos que la ecuación de la transformación relativista para \( x \) es la misma que la ecuación clásica (ecuación 39.1a)
Ecuación 39.1a
\( x=x'+vt',\qquad{y=y'}\qquad{z=z'}\qquad{t=t'} \)
excepto por la presencia de un factor adicional en el segundo miembro. Es decir, suponemos que la ecuación tiene la forma
\( x=\gamma(x'+vt')\qquad{39.3} \)
donde \( \gamma \) es un factor que puede depender de \( v \) y \( c \) pero no de las coordenadas. La transformación inversa debe tener el mismo aspecto exceptuando el signo de la velocidad:
\( x'=\gamma(x-vt)\qquad{39.4} \)
Consideremos un pulso luminoso que parte del origen de \( S \) en \( t=0 \). Como hemos supuesto que los orígenes son coincidentes en \( t=t'=0 \), el pulso también parte del origen en \( S' \) en \( t'=0 \). El postulado de Einstein exige que la ecuación correspondiente a la componente \( x \) del frente de onda del pulso de luz sea \( x=ct \) en el sistema \( S \) y \( x'=ct' \) en el sistema \( S' \). Sustituyendo \( x \) por \( ct \) y \( x' \) por \( ct' \) en las ecuaciones 39.3 y 39.4 se tiene
\( ct=\gamma(c+v)t'\qquad{39.5} \)
y
\( ct'=\gamma(c-v)t\qquad{39.6} \)
Dividimos ambos miembros de las ecuaciones 39.5 y 39.6 por \( t \), eliminamos el cociente \( t'/t \) de estas dos ecuaciones y determinamos \( \gamma \). Así,
\( \gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-(v^2/c^2)}}\qquad{39.7} \)
(...). Por consiguiente, la transformación relativista para \( x \) y \( x' \) viene dada por las ecuaciones 39.3 y 39.4, y por la ecuación 39.7. Podemos obtener ecuaciones para \( t \) y \( t' \) combinando la ecuación 39.3 con la transformación inversa dada por la ecuación 39.4. Sustituyendo \( x \) en la ecuación 39.4 por \( x=\gamma(x'+vt') \) se tiene
\( x'=\gamma[\gamma(x'+vt')-vt] \)
de donde puede despejarse \( t \) en función de \( x' \) y \( t' \). La transformación relativista completa es
\( x=\gamma(x'+vt'),\quad{y=y'},\quad{z=z'} \)
\( t=\gamma\Bigg (t'+\cfrac{vx'}{c^2}\Bigg ) \)
He intentado partir de \( x'=\gamma[\gamma(x'+vt')-vt] \) para llegar a \( t=\gamma\Bigg (t'+\cfrac{vx'}{c^2}\Bigg ) \), y he debido fallar en algo. Esto es lo que he hecho:
\( x'=\gamma^2(x'-vt')-\gamma\,vt \)
\( x'=\gamma^2x'-\gamma^2\,vt'-\gamma\,vt \)
\( \cfrac{x'}{\gamma^2}=x'-vt'-\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}\,vt \)
\( x'\Big (1-\cfrac{v^2}{c^2}\Big )=x'-vt'-\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}\,vt \)
\( x'-\cfrac{x'v^2}{c^2}=x'-vt'-\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}\,vt \)
\( -\cfrac{x'v}{c^2}=-t'-\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}\,t \)
\( t'-\cfrac{x'v}{c^2}=-\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}\,t \)
\( t=-\cfrac{1}{\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}}\Big (t'-\cfrac{vx'}{c^2}\Big ) \)
Es decir, no sale bien. Esos dos signos menos no sé qué hacer con ellos.
Un saludo.
