Buenas noches. Tengo una duda respecto al siguiente problema. Lo he intentado todo el día y simplemente no me da el resultado que dice el libro.
El problema es el siguiente:
Calcula el volumen que se genera al girar la superficie limitada por la parábola \( y^2+4x-6y-11=0 \)
y la recta \( 2x+y=9 \)
en torno a la recta \( y+1=0 \).
Mi solución implica usar el método de arandelas (que hasta donde sé, es el método usual cuando el eje de revolución no está sobre la superficie que rota). Para ello, mi procedimiento fue el siguiente:
1. Calcular los puntos de intersección, que en este caso son \( P(1, 7) \) y \( Q(4, 1) \).
2. Luego, por la forma de la superficie implicada, supuse que lo mejor era integrar usando \( y \) como variable. Entonces, expresando ambas funciones en términos de \( y \) obtuve:
\( g(y)=\dfrac{1}{2}(9-y) \qquad f(y)=\dfrac{1}{4}(11+6y-y^2) \).
3. Luego, como la superficie rota alrededor de la recta \( y=-1 \), mi idea fue desplazar ambas funciones hacia arriba una unidad para rotarlas en torno al eje \( X \) y, de esa manera, usar la fórmula
\( V=\pi \displaystyle\int_{c}^{d}\left[f(y)\right]^2-\left[g(y)\right]^2 dy \)
derivada el método de arandelas.
4. Al desplazar las funciones \( 1 \) hacia arriba obtengo:
\( g(y-1)=\dfrac{1}{2}(9-(y-1))=5-\dfrac{1}{2}y \qquad f(y-1)=\dfrac{1}{4}(11+6(y-1)-(y-1)^2)=1+2y-\dfrac{1}{4}y^2 \)
.
Igualmente, los límites de integración cambian a \( c=2 \) y \( d=8 \).
5. Solo se sustituye la información en la fórmula:
\( V=\pi \displaystyle\int_{2}^{8}\left[1+2y-\dfrac{1}{4}y^2\right]^2-\left[5-\dfrac{1}{2}y\right]^2 dy=\dfrac{306\pi}{5} u^3 \)
Sin embargo, en el libro dice la solución es \( V= 90\pi u^3 \). ¿Qué hice mal?
Agradecería mucho alguna sugerencia o idea nueva, porque me siento atascado.
