En geometría, un sólido de Johnson es un poliedro estrictamente convexo, y cada una de sus caras es un polígono regular. Por otra parte, no es uno de los sólidos platónicos, ni uno de los sólidos arquimedianos, ni un prisma ni un antiprisma. No se requiere que todas las caras sean un mismo polígono, o que polígonos del mismo tipo se unan por los vértices.
Circula por internet una lista con 92 sólidos distintos agrupados en los siguientes subgrupos (búsquese en wikipedia):
-Prismatoides y rotondas
-Pirámides modificadas y bipirámides
-Cúpulas y rotondas modificadas
-Prismas aumentados
-Sólidos de Platón modificados
-Sólidos de Arquímedes modificados
-Diversos
La mayor parte de ellos no ofrece dudas respecto a su construcción, dado que son modificaciones por elongación, pegado o rotación de poliedros clásicos. Sin embargo, me surgió la duda respecto a algunos del subgrupo de Diversos y comencé a explorarlos.
En concreto, el estudio de la Esfenocorona (así como de la Esfenorocona aumentada) me llevó a una contradicción en cuanto a su posible existencia y constructibilidad. Tras discutir con una IA, me decido a publicar mi razonamiento de por qué este poliedro no es construible:
Tomando una medida de 1 unidad para todas las aristas, la figura teórica tendría aproximadamente las siguientes planta, alzado y perfil:
Observando la figura detenidamente y colocándola de manera adecuada, se pueden ver algunas regularidades que dejo marcadas en el apartado de vértices:
\( A=(0,0,0) \)
\( B =(1,0,0) \)
\( C=(0,1,0) \)
\( D=(1,1,0) \)
\( E=(0.5, 1+b,c) \)
\( F=(0.5,-b,c) \)
\( G=(1+a,1,d) \)
\( H=(1+a,0,d) \)
\( I=(e,0.5,f) \)
\( J=(g,0.5,h) \)
En un principio pudiera parecer que alguna de las alturas de los vértices (E y G) o (E y I) o (G y I), son la misma. Más adelante se verá que no es así... no obstante, dejo abierta la posibilidad de que lo sean... sencillamente, esto se traducirá en un c=d, o c=f, o d=f tras realizar los cálculos.
Al tener 22 aristas, podríamos sacar 22 ecuaciones sacando la distancia entre vértices. Algunas de ellas son redundantes, por lo que al eliminarlas podemos quedarnos únicamente con las siguientes:
\( Arista(A,F): b²+c²=0,75 \)
\( Arista(A,I): e²+f²=0,75 \)
\( Arista(B,H): a²+d²=1 \)
\( Arista(E,G): (0,5+a)²+b²+(c-d)²=1 \)
\( Arista(E,I): (0,5-g)²+(b+0,5)²+(c-h)²=1 \)
\( Arista(E,J):(0,5-e)²+(b+0,5)²+(c-f)²=1 \)
\( Arista(G,J):(1+a-g)²+0,5²+(d-h)²=1 \)
\( Arista(I,J):(e-g)²+(f-h)²=1 \)
Tomemos nada más que las siguientes ecuaciones para empezar:
\( 1º) a²+d²=1 \)
\( 2ª) b²+c²=0,75 \)
\( 3ª) (0,5+a)²+b²+(c-d)²=1 \)
En la expresión 1º), despejamos la \( d \):
\(
d=\sqrt[ ]{1-a²}
\)
En la expresión 3º), desarrollamos utilizando la igualdad notable del cuadrado de la suma:
\(
0,5²+a²+2*0,5*a+b²+c²+d²-2cd=1
\)
Recolocamos los términos de la expresión de manera que nos queden los términos cuadráticos al inicio y realizamos el producto de números e incógnita \( 2*0,5*a = 1*a = a \):
\(
a²+b²+c²+d²+a+0,5²-2cd=1
\)
Nos percatamos de que a esta expresión se le pueden restar la 1º) y la 2º) para eliminar todos los términos cuadráticos:
\( a²+b²+c²+d²+a+0,5²-2cd - (a²+d²) - (b²+c²)=1-0,75 -1 \)
\( a+0,5²-2cd =-0,75 \)
De ahí, despejamos \( c \):
\( 2cd= a+0,5²+0,75 = a+0,25+0,75 = a+1 \)
\( c=(a+1)/(2d) \)
Como teníamos \( d \) despejada anteriormente, tenemos que \( c \) también es una expresión que depende únicamente de \( a \).
\(
c=(a+1)/(2d) = (a+1)/(2 \sqrt[ ]{ 1-a²} )
\)
En la expresión 2º), despejamos la \( b \):
\(
b= \sqrt[ ]{0,75-c² }= \sqrt[ ]{0,75-((a+1)/(2 \sqrt[ ]{ 1-a²} ))² }
\)
Esta será una expresión que depende únicamente de \( a \).
Mediante interpolación, podemos calcular un valor de \( a \) para el que se cumplen simultáneamente las igualdades 1º), 2º) y 3º):
\( a =0.447213595 \)
\( b =0.309016995698607 \)
\( c =0.809016993869354 \)
\( d =0.894427191249895 \)
Se puede comprobar que dichos valores verifican las ecuaciones 1º),2ª) y 3ª) (con calculadora, hoja de cálculo o similar), pudiendo obtenerse mayor precisión cuanto más interpolemos la \( a \).
Con esto, ya tendríamos determinados 8 de los 10 vértices de la esfenocorona:
\( A =(0,0,0) \)
\( B =(1,0,0) \)
\( C=(0,1,0) \)
\( D=(1,1,0) \)
\( E=(0.5, 1.309016995698607,0.809016993869354) \)
\( F=(0.5,-0.309016995698607,0.809016993869354) \)
\( G=(1.447213595,1,0.894427191249895) \)
\( H=(1.447213595,0,0.894427191249895) \)
Aquí ya se puede ver que las alturas de E y F no coinciden con las de G y H, hecho que anunciaba al principio del documento.
Nos faltarían por determinar los puntos I y J. Para hacerlo, todavía contamos con varias ecuaciones que no hemos utilizado:
\( 4º) e²+f²=0,75 \)
\( 5º) (0,5-g)²+(b+0,5)²+(c-h)²=1 \)
\( 6ª) (0,5-e)²+(b+0,5)²+(c-f)²=1 \)
\( 7º) (1+a-g)²+0,5²+(d-h)²=1 \)
\( 8º) (e-g)²+(f-h)²=1 \)
Observamos que las ecuaciones 5º) y 7º) dependen únicamente de g y h (a, b, c y d ya están determinadas como números, lo que pasa es que no las he sustituido todavía para que haya mayor claridad). Si tomamos g y h como incógnitas, en el fondo no son más que las ecuaciones de 2
circunferencias en un plano.
Dos circunferencias en un plano pueden:
a) cortarse en dos puntos
b) tocarse en 1 punto, es decir, ser tangentes
c) no cortarse en ningún punto
Veamos en que caso estamos poniendo la g como x y la h como y:
\( 5º) (x-0,5)²+(y-c)²=1-(b+0,5)² = 0,3454915006708 = r_1² \)
\( 7º) (x -(1+a))²+(y-d)²=1-0,5² = 0,75 = r_2² \)
En un cáso genérico de corte de 2 circunferencias, si las circunferencias tienen radios \( r_1, r_2 \) y centros \( P=(a_1, b_1), Q=(a_2,b_2) \), se puede calcular su intersección de la siguiente manera:
\( C_1: (x-a_1)² +(y-b_1)² = r_1² \)
\( C_2: (x-a_2)² +(y-b_2)² = r_2² \)
\( x²+a_1²-2 a_1 x +y²+b_1²-2 b_1 y = r_1² \)
\( x²+a_2²-2 a_2 x +y²+b_2²-2 b_2 y = r_2² \)
Restando ambas ecuaciones, se anulan los términos cuadráticos en x e y:
\( x²+a_1^2-2 a_1 x +y² +b_1^2-2 b_1 y -(x²+a_2^2-2 a_2 x +y²+b_2^2-2 b_2 y )= r_1² - r_2² \)
Agrupamos los términos que contienen las incógnitas x e y sacando factor común:
\( (-2 a_1 + 2 a_2) x + a_1^2-a_2^2 +(-2 b_1 +2 b_2 ) y +b_12 -b_2^2 = r_1² - r_2² \)
Dejamos a la izquierda de la igualdad las y y pasamos a la derecha las x:
\( (-2 b_1 +2 b_2 ) y = (2 a_1 - 2 a_2) x + r_1² - r_2²+- a_1^2+a_2^2-b_1^2 +b_2^2 \)
Esa es la ecuación de una recta. Si intersecamos la recta con una de las circunferencias iniciales, lo que hacemos es sustituir el valor de la \( y \) en la ecuación y calcular la solución de la \( x \) como una ecuación de segundo grado.
\( r: y = [(2 a_1 - 2 a_2)/(-2 b_1 +2 b_2 )] x + [(r_1² - r_2²- a_1^2+a_2^2-b_1^2 +b_2^2)/(-2 b_1 +2 b_2 )] \)
tomamos \( M= (2 a_1 - 2 a_2)/(-2 b_1 +2 b_2 ) \)
y tomamos \( N = [(r_1² - r_2²+- a_1^2+a_2^2-b_1^2 +b_2^2)/(-2 b_1 +2 b_2 )] \)
y ahora la recta será:
\( y = M x+N \)
Recordemos la ecuación de la circunfercia con la que la queríamos intersecar:
\( C_1: (x-a_1)² +(y-b_1)² = r_1² \)
Y hallemos la intersección:
\( r ∩ C1: (x-a_1)² +(Mx+(N-b_1))² = r_1² \)
\( x²+a_1²-2a_1x +M²x² +(N-b_1)² +2M(N-b_1)x - r_1² =0 \)
Agrupamos los términos en x² y los que están en x sacando factor común:
\( (M²+1) x² +(2M(N-b_1)-2a_1) x + a_1² + (N-b_1)² - r_1² = 0 \)
Nos damos cuenta de que eso es una ecuación de segundo grado del tipo \( Ax² + Bx + C = 0 \) sin más que igualar los siguientes términos:
\( A = (M²+1) \)
\( B = (2M(N-b_1)-2a_1) \)
\( C = a_1²+(N-b_1)²- r_1² \)
Y las soluciones vendrán dadas por la conocida fórmula para ecuaciones de segundo grado:
\( x= ( -B ± \sqrt[]{ B²-4AC}) / (2A) \)
Si el discriminante fuese negativo, significaría que las 2 circunferencias no se cortan. Si el discriminante fuera 0, significaría que las circunferencias son tangentes y sería una solución doble, y si fuese negativo, significaría que se cortan en los siguientes 2 puntos:
\( x_1 = (-B+\sqrt[]{ B²-4AC}))/(2A) \)
\( y_1 = M x_1+N \)
\( x_2 = (-B- \sqrt[]{ B²-4AC}))/(2A) \)
\( y_2 = M x_2+N \)
Ese es el caso general, pero si vamos sustituyendo los valores con mucha paciencia y mucho cuidado, tendríamos las siguientes soluciones para nuestro caso concreto:
| coeficiente | valor |
| a | 0,447213595 |
| b | 0,309016995698607 |
| c | 0,809016993869354 |
| d | 0,894427191249895 |
| \( r_1² \) | 0,3454915006708 |
| \( r_2² \) | 0,75 |
| \( a_1 \) | 0,5 |
| \( a_2 \) | 1,447213595 |
| \( b_1 \) | 0,809016993869354 |
| \( b_2 \) | 0,894427191249895 |
| M | -11,0901698397878 |
| N | 9,28115285366732 |
| A | 123,991867075339 |
| B | -188,914851181832 |
| C | 71,6815945262038 |
| \( x_1 =g \) | 0,809016993244408 |
| \( y_1 =h \) | 0,309016995312364 |
| \( x_2 =g \) | 0,714589801603233 |
| \( y_2 =h \) | 1,35623058810719 |
Tenemos por tanto 2 soluciones posibles:
\(
J_1 =(0.809016993244408, 0.309016995312364) \)
\(
J_2 =(0.714589801603233, 1.35623058810719)
\)
En nuestro caso particular, como la segunda componente marca la altura de la J, pues tiene que ser la solución buscada la segunda, porque la primera tiene una altura menor que la altura del resto de puntos y estaríamos formando una figura no convexa al añadirlo a los vértices que ya tenemos ubicados.
Así, determinamos el vértice J de la esfenocorona:
\( J =(0.714589801603233, 0.5, 1.35623058810719) \)
Aún tenemos que calcular la posición del vértice I y contamos con algunas ecuaciones que no hemos utilizado todavía:
\( 4ª) e²+f²=0,75 \)
\( 6ª) (0,5-e)²+(b+0,5)²+(c-f)²=1 \)
\( 8º) (e-g)²+(f-h)²=1 \)
Estaríamos ahora en un caso de intersección de 3 circunferencias, donde las incógnitas van a ser ahora la e y la f. Como ya tenemos la forma de calcular la intersección de 2 circunferencias, pues no hay nada más que elegir un par de estas circunferencias y sustituir convenientemente en la tabla.
Elegimos, por ejemplo las siguientes:
\( 6º) (x-0,5)²+(y-c)² = 1 - (b+0,5)² = 0,3454915006708 = r_1² \)
\( 8º) (x-g)²+(y-h)² = 1 = r_2² \)
| coeficiente | valor |
| a | 0,447213595 |
| b | 0,309016995698607 |
| c | 0,809016993869354 |
| d | 0,894427191249895 |
| g | 0,714589801603233 |
| h | 1,35623058810719 |
| \( r_1² \) | 0,3454915006708 |
| \( r_2² \) | 1 |
| \( a_1 \) | 0,5 |
| \( a_2 \) | 0,714589801603233 |
| \( b_1 \) | 0,809016993869354 |
| \( b_2 \) | 1,35623058810719 |
| M | -0,39214998286385 |
| N | 0,722736976295339 |
| A | 1,15378160906012 |
| B | -0,932330585173715 |
| C | -0,0880472592382276 |
| \( x_1 =e \) | 0,893475236858717 |
| \( y_1 =f \) | 0,372360677471919 |
| \( x_2 =e \) | -0,0854101941742516 |
| \( y_2 =f \) | 0,75623058247717 |
En este caso, la solución que nos vale será la segunda, porque la primera marca una primera coordenada en X más a la derecha de la J, lo que nos daría un poliedro no convexo.
\( I = (-0.0854101941742516, 0.5, 0.75623058247717) \)
Sin embargo, teníamos una ecuación que no habíamos tenido en cuenta todavía:
\( 4º) e²+f²=0,75 \)
Si sustituimos los valores calculados en la función, tenemos lo siguiente:
\( (-0,0854101941742516)² +(0,75623058247717)² = 0,75 \)
\( 0,579179595142643 = 0.75 \)
‼Vemos que dicha ecuación no se cumple para los valores que habíamos calculado. Esto es debido a que se trataba de un sistema incompatible que no tiene solución... y no tiene solución porque la Esfenocorona no existe en los términos descritos en su definición: poliedro convexo formado por 12 caras que son polígonos regulares: 2 cuadrados y 10 triángulos equiláteros.
En su momento esa lista fue publicada por Norman Johnson y verificada por un tal Viktor Zalagher, que dio una caracterización algebraica de los vértices de la Esfenocorona en la que los vértices de cierre del poliedro se sacaban de un polinomio de grado 21 o algo así.
Tras realizar los cálculos que he publicado, en los que no he necesitado para nada ese polinomio de grado 21, para mi queda claro que esa figura no es construible.
