[ani_pascual]

Hola:
Continuando con la serie de facilemas sobre topología general para estudiantes que inician su andadura en esta asignatura...

Pruébese la siguiente doble proposición:

i) Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico; si para cada \( x\in X, {\cal B}_x\subseteq \tau \) es una base local o sistema fundamental de entornos de \( x \) en \( (X,\tau) \) formada por abiertos, entonces la familia \( {\cal B}=\bigcup\limits_{x\in X}{\cal B}_x \) es base de la topología \( \tau \).
ii) Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico, si \( {\cal B}\subseteq \tau  \) es base de \( \tau \), entonces para cada \( x\in X  \), la familia \( {\cal B}_x=\{B\in {\cal B}\,|\,x\in B\} \) es base local o sistema fundamental de entornos de \( x \) en \( (X,\tau) \) formada por abiertos.
Saludos

[anartesi]

Hola, ¿el primer inciso simplemente estaría diciendo que para cada elemento del conjunto existe un entorno asociado a él y la unión de esos entornos genera una base, porque si tengo entornos de cada elemento, puedo formar, a través de la unión; cualquier elemento (conjunto) de la topología?

Para probar eso sería suficiente mostrar esto: como cada x perteneciente a X tiene asociado un entorno, puedo formar cualquier conjunto que quiera  y con más razón puedo formar cualquier  elemento- conjunto de la topología? (porque la unión da para todo)

Voy a pensar el otro, gracias

[ani_pascual]

Hola:

Hola, ¿el primer inciso simplemente estaría diciendo que para cada elemento del conjunto existe un entorno asociado a él y la unión de esos entornos genera una base, porque si tengo entornos de cada elemento, puedo formar, a través de la unión; cualquier elemento (conjunto) de la topología?

Para probar eso sería suficiente mostrar esto: como cada x perteneciente a X tiene asociado un entorno, puedo formar cualquier conjunto que quiera  y con más razón puedo formar cualquier  elemento- conjunto de la topología? (porque la unión da para todo)

Voy a pensar el otro, gracias

No veo clara tu estrategia...🤔
Para probar que una colección \( {\cal B}\subseteq {\cal P}(X) \) es base de la topología \( \tau \) hay que probar dos cuestiones:
a) \( \textcolor{blue}{{\cal B}\subseteq \tau} \)
b) Cualquier abierto se puede  expresar como unión de elementos de \( {\cal B} \), es decir, que \( \forall\,G\in\tau, \,\forall\,x\in G, \,\exists\,B_x\in {\cal B}, \) tal que \( x\in B_{x} \subseteq G \).
Corregido y añadido
En el ítem ii) lo que tienes es que \( {\cal B} \) es base de \( \tau \), y lo que tienes que probar es que para cada \( x\in X \), la familia \( {\cal B}_x=\{B\in{\cal B}\,|\,x\in B\} \) es un sistema fundamental de entornos de \( x \) en \( (X,\tau) \) formado por abiertos, es decir, tienes que probar que todos los elementos de \( {\cal B}_x \) son abiertos y que dado un entorno \( N_x \) de \( x \) en \( (X,\tau) \) arbitrario, existe un elemento \( B_x\in {\cal B}_x \) tal que \( x\in B_x\subseteq N_x \)
Saludos

[anartesi]

Hola, gracias por la respuesta. En realidad me enredé pensando en cómo formar la topología discreta en el conjunto de los números reales, pensaba en un ejemplo.
Porque si puedo formar a partir de la unión de las bases locales, la topología discreta, puedo formar cualquier otra y entonces sería una base la unión de todos los $$B_{x}$$ (Supongo que me compliqué sin sentido).

[ani_pascual]

Hola:

Hola, gracias por la respuesta. En realidad me enredé pensando en cómo formar la topología discreta en el conjunto de los números reales, pensaba en un ejemplo.
Porque si puedo formar a partir de la unión de las bases locales, la topología discreta, puedo formar cualquier otra y entonces sería una base la unión de todos los $$B_{x}$$ (Supongo que me compliqué sin sentido).

Un ejemplo ilustrativo puede ser el de la recta real con la topología usual, \( (\mathbb{R},\tau_u) \).
Es claro que para cada  \( x\in \mathbb{R} \), la familia de intervalos abiertos  \( {\cal B}_x=\{]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\,|\,\varepsilon\in\mathbb{R}^{+}\} \) es un sistema fundamental de entornos de \( x \) en \( (\mathbb{R},\tau_u) \), todos ellos abiertos, y eso implica que la unión de todas esas familias es una base de \( \tau_u \). Por otro lado, es claro también que la colección \( {\cal B}_u=\{]a,b[\subset \mathbb{R}\,|\,a,b\in\mathbb{R}, a<b\} \) es una base de \( \tau_u \) (la base usual), y eso implica que para cada \( x\in\mathbb{R} \), la familia \( {\cal B}_x=\{]a,b[\in {\cal B}_u\,|\,x\in ]a,b[\} \) es un sistema fundamental de entornos de \( x \) en \( (\mathbb{R},\tau_u) \), todos ellos abiertos.
Saludos

[anartesi]

Gracias, ¿los corchetes usados al revés $$]a, b[$$ representan lo mismo que $$(a,b)$$? Ya vi en otros lugares esa notación, pero nunca en los apuntes que me dan a mi.

[ani_pascual]

Hola:

Gracias, ¿los corchetes usados al revés $$]a, b[$$ representan lo mismo que $$(a,b)$$? Ya vi en otros lugares esa notación, pero nunca en los apuntes que me dan a mi.

Sí, significa lo mismo \( (a,b)=]a,b[=\{x\in\mathbb{R}\,|\,a<x<b\} \).
Dejo una posible demostración de la proposición, por si te interesa: 

Spoiler

i) Sea \( B\in {\cal B}=\bigcup\limits_{x\in X}{\cal B}_x \); entonces existe \( x\in X \) tal que \( B\in {\cal B}_x\subseteq \tau \), luego \( B\in\tau  \) y así \( {\cal B}\subseteq\tau \).
Por otro lado, dado un abierto \( G\in \tau \) y dado \( x\in G \) arbitrario, en particular \( G \) es un entorno de \( x \), luego  por ser \( {\cal B}_x \) un sistema fundamental de entornos de \( x \) en \( (X,\tau) \), existe \( B_x\in {\cal B}_x\subseteq {\cal B} \) con \( x\in B_x\subseteq G \).
Así pues, \( {\cal B} \) es base de \( \tau \).
ii) \( {\cal B}\subseteq \tau \Longrightarrow \forall\,x\in X,{\cal B}_x\subseteq {\cal B}\subseteq \tau \), luego los elementos de \( {\cal B}_x \) son abiertos, sea cual sea \( x\in X \). Además, dado un entorno arbitrario \( N_x \) de \( x \) en \( (X,\tau) \), por definición, existe \( G_x\in\tau \) tal que \( x\in G_x\subseteq N_x \) y ahora por ser \( {\cal B} \) base de \( \tau \), existe un abierto básico \( B_x\in{\cal B} \) tal que \( x\in B_x\subseteq G_x\subseteq N_x \) y como \( B_x\in {\cal B}_x \), se deduce que \( {\cal B}_x \) es un sistema fundamental de entornos de \( x \) en \( (X,\tau) \), formado por abiertos.

[cerrar]

Saludos

[anartesi]

Si, entiendo, lo que me confunde de estas demostraciones es que uso dos niveles de elementos a la vez, (no se como decir esto, pero parece así) por un lado los elementos del conjunto X y por otro los elementos que son entornos y pertenecen a la base local y a la unión de todas ellas.
Gracias!! ☺️