Hola
Dibujamos una circunferencia $$\Gamma$$ con centro $$ O$$ circunscrita a un triángulo rectángulo $$ABC,$$ con catetos $$3 $$y $$4.$$ Determine el radio de la circunferencia $$\sum$$ con centro $$O',$$ tangente a los catetos de $$ABC$$ e internamente a $$\Gamma.$$
Sug: Aplicar Stewart, que dice : Si $$ABC$$ es un triangulo de lados $$AB=c, AC=b, BC=a .$$ Si $$P$$ es un punto sobre el lado $$BC $$ tal que $$BP=x,CP=y$$ e $$AP=z$$ entonces $$b^2x+c^2y=a(xy+z^2).$$
Ahora mismo no veo como usar la sugerencia.
Pero observa el dibujo:
- Llamamos \( x \) al radio de la circunferencia buscada y \( r=\sqrt{3^2+4^2}/2=5/2 \) al radio de la circunferencia inscrita a \( ABC \).
- La distancia del centro de la circunferencia buscada a la circunferencia \( F \) al centro de la original \( O \) debe de cumplir que:
\( FO+x=r \) y por tanto \( FO^2=(5/2-x)^2 \) (*)
ya que en dos circunferencias tangentes los centros y el punto de tangencia son colineales.
Ahora en el triángulo rectángulo \( FOL \)
\( FO^2=LF^2+LO^2 \)
pero:
\( LF=|CD-CK|=|x-AC/2|=|x-3/2| \)
\( LO=|CJ-CG|=|CB/2-x|=|4/2-x| \)
Sustituyendo en (*):
\( (x-3/2)^2+(2-x)^2=(5/2-x)^2 \)
Simplifcando queda:
\( x^2-2x=0 \)
De donde \( x=2 \)
Saludos.
P.D. El dibujo que usado arriba no está con las dimensiones reales. El dibujo con los datos reales sería este:
No lo he querido usar porque da información engañosa, en el sentido de que para estos datos en particular los segmentos que unen el centro de la circunferencia buscada con los puntos de tangencia en el cateto mayor y en las circunferencias son paralelos, pero eso no tiene porque ser así en general y es algo que no podemos suponer a priori.
