[ani_pascual]

Hola:
El siguiente es un ejercicio muy sencillo, apropiado para aquellos estudiantes que empiezan a estudiar topología general    

Pruébese que una condición necesaria y suficiente para que  un espacio topológico \( (X,\tau) \) esté dotado de la topología discreta, es decir, \( \tau={\cal P}(X) \), es que para cualquier otro espacio topológico \( (X',\tau') \) y para cualquier aplicación \( f:(X,\tau)\longrightarrow (X',\tau') \) es \( f \) continua.
Saludos

[anartesi]

Hola, ¿debería probar que dada la primer topología, la discreta; si tomo cualquier conjunto $$A$$ incluido en $$T’$$, y cualquier función, entonces $$f^{-1} (A) $$ estaría incluida en el conjunto de partes de $$X$$? No se me ocurre como probar a partir de la continuidad que el dominio tiene que ser el conjunto de partes. (No encontré las letras que necesito, disculpen).

[ani_pascual]

Hola:

Hola, ¿debería probar que dada la primer topología, la discreta; si tomo cualquier conjunto $$A$$ incluido en $$T’$$, y cualquier función, entonces $$f^{-1} (A) $$ estaría incluida en el conjunto de partes de $$X$$? No se me ocurre como probar a partir de la continuidad que el dominio tiene que ser el conjunto de partes. (No encontré las letras que necesito, disculpen).

La prueba consiste en dos partes, la condición necesaria y la suficiente. La primera es trivial, y es la que mencionas, aunque  es más apropiado hablar de cualquier conjunto \( A \) perteneciente a \( \tau' \) en vez de contenido en \( \tau' \) y lo mismo respecto a \( f^{-1}(A) \). Ahora bien, es claro que \( f^{-1}(A)\subseteq X \), lo cual equivale a que \(
f^{-1}(A)\in{\cal P} (X)=\tau \), de donde es \( f \) continua.
A ver si te sale la prueba de la condición suficiente. Como siempre es \( \tau\subseteq {\cal P}(X) \), solo tienes que probar que \( {\cal P}(X)\subseteq \tau \). Para eso, elige un espacio topológico \( (X',\tau') \) y una aplicación \( f \) adecuados, que por hipótesis será continua, y deduce que \( f^{-1}(A)\in\tau \)

Pista

Usa \( (X',\tau')=(X,{\cal P}(X)) \) y \( f=id_{X}:X\longrightarrow X  \) (la identidad en \( X \))

[cerrar]

Saludos

[anartesi]

Hola, había pensado en elegir una topología adecuada pero como dice  para cualquier otro espacio topológico y para cualquier función, no me decidí, porque entonces sería para alguna topología, ¿cierto?
gracias

[ani_pascual]

Hola:

Hola, había pensado en elegir una topología adecuada pero como dice  para cualquier otro espacio topológico y para cualquier función, no me decidí, porque entonces sería para alguna topología, ¿cierto?
gracias

Pero... si la existencia del espacio topológico, \( (X,{\cal P}(X)) \) y de la función continua, \( i_d:(X,\tau)\longrightarrow (X,{\cal P}(X))  \) es una condición suficiente para que se cumpla que \( \tau={\cal P}(X) \), también lo será el que para cualquier espacio topológico, \( (X',\tau') \) y para cualquier función, \( f:(X,\tau)\longrightarrow (X',\tau')  \) se tenga que es \( f \) continua.
Saludos

[anartesi]

Hola:

Hola, ¿debería probar que dada la primer topología, la discreta; si tomo cualquier conjunto $$A$$ incluido en $$T’$$, y cualquier función, entonces $$f^{-1} (A) $$ estaría incluida en el conjunto de partes de $$X$$? No se me ocurre como probar a partir de la continuidad que el dominio tiene que ser el conjunto de partes. (No encontré las letras que necesito, disculpen).

La prueba consiste en dos partes, la condición necesaria y la suficiente. La primera es trivial, y es la que mencionas, aunque  es más apropiado hablar de cualquier conjunto \( A \) perteneciente a \( \tau' \) en vez de contenido en \( \tau' \) y lo mismo respecto a \( f^{-1}(A) \). Ahora bien, es claro que \( f^{-1}(A)\subseteq X \), lo cual equivale a que \(
f^{-1}(A)\in{\cal P} (X)=\tau \), de donde es \( f \) continua.
A ver si te sale la prueba de la condición suficiente. Como siempre es \( \tau\subseteq {\cal P}(X) \), solo tienes que probar que \( {\cal P}(X)\subseteq \tau \). Para eso, elige un espacio topológico \( (X',\tau') \) y una aplicación \( f \) adecuados, que por hipótesis será continua, y deduce que \( f^{-1}(A)\in\tau \)

Pista

Usa \( (X',\tau')=(X,{\cal P}(X)) \) y \( f=id_{X}:X\longrightarrow X  \) (la identidad en \( X \))

[cerrar]

Saludos

Hola, ya entendí, luego lo escribo de forma que se pueda leer fácilmente, pero ahora sigo teniendo mi primer duda, ¿por qué sería cualquier conjunto $$A$$ perteneciente a $$\tau´$$ y no contenido? (entiendo o creo entender que estaría distinguiendo de alguna forma entre elemento y subconjunto o conjunto, pero se me mezclan las aguas)

[anartesi]

Hola, ya recordé porque no lo pienso como conjunto, porque cada elemento de la topología es un conjunto. 🙄