[zorropardo]

En un cuadrilátero convexo $$ABCD$$ con área $$32,$$ la suma de las longitudes de dos lados opuestos y una diagonal es $$16$$. Calcula la longitud de la otra diagonal.


Lo pense como la figura adjunta. LLamando $$d=AC,b=DC$$ y $$a=AB.$$ Sean $$h_1, h_2$$ las alturas relativas a los triangulos $$ABC$$ y $$ACD.$$ Entonces $$d(h_1+h_2)=64$$ y por la desiagualdad de medias : $$d(h_1+h_2)  \leq{d(a+b)} \leq{ \frac{1}{4}(d+a+b)^2}.$$ Y $$d+a+b=16.$$

Operando : $$d=a+b=h_1+h_2=8.$$ Mi duda es como concluir la longitud de la otra diagonal 

[Luis Fuentes]

Hola

En un cuadrilátero convexo $$ABCD$$ con área $$32,$$ la suma de las longitudes de dos lados opuestos y una diagonal es $$16$$. Calcula la longitud de la otra diagonal.


Lo pense como la figura adjunta. LLamando $$d=AC,b=DC$$ y $$a=AB.$$ Sean $$h_1, h_2$$ las alturas relativas a los triangulos $$ABC$$ y $$ACD.$$ Entonces $$d(h_1+h_2)=64$$ y por la desiagualdad de medias : $$d(h_1+h_2)  \leq{d(a+b)} \leq{ \frac{1}{4}(d+a+b)^2}.$$ Y $$d+a+b=16.$$

Operando : $$d=a+b=h_1+h_2=8.$$ Mi duda es como concluir la longitud de la otra diagonal 

 Dado que esta cadena de desigualdades:

$$64= d(h_1+h_2)  \leq{d(a+b)} \leq{ \frac{1}{4}(d+a+b)^2}=64$$

 es el realidad una igualdad, deduces que \( a=h_1 \) y \( b=h_2 \).

Por tanto los lados son alturas y así \( \angle BAC=\angle DCA=90^o \).

De ahí por Pitágoras:

\( DB^2=AC^2+(DA+CB)^2=8^2+8^2\quad \Rightarrow{}\quad DB=8\sqrt{2} \).

Saludos.

[zorropardo]

Hola, no logro ver  el Triángulo rectángulo que se forma, para despues aplicar   Pitágoras. 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, no logro ver  el Triángulo rectángulo que se forma, para despues aplicar   Pitágoras. 

Si llamas \( E \) a la proyección ortogonal de \( D \) sobre la recta \( AB \), el triángulo \( BED \) es rectángulo de catetos \( EB=DC+AB=8 \) y \( DE=CA=8 \).


Saludos.

[zorropardo]

Hola, viendo tu dibujo,  veo que eso solo funciona si  $$AB$$ es paralelo a $$DC$$. 

O como seria para la figura que yo adjunte 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, viendo tu dibujo,  veo que eso solo funciona si  $$AB$$ es paralelo a $$DC$$. 

O como seria para la figura que yo adjunte 

Ojo, relee con cuidado mi primera respuesta.

Dado que esta cadena de desigualdades:

$$64= d(h_1+h_2)  \leq{d(a+b)} \leq{ \frac{1}{4}(d+a+b)^2}=64$$

 es el realidad una igualdad, deduces que \( a=h_1 \) y \( b=h_2 \).

Por tanto los lados son alturas y así \( \angle BAC=\angle DCA=90^o \).

Saludos.