Se construyen los triángulos isósceles congruentes:
\[ \triangle{DFB} \equiv{} \triangle{ADE} \equiv{} \triangle{EGC} \] (con ángulos iguales \( x \))
\[ \triangle{ADF} \equiv{} \triangle {DEG} \] (con ángulos iguales \( 2x \))
Tomando ahora el simétrico de \( B \) respecto a la recta \( AC \):
Se tiene que \( B'C = CB \) y \( B'D = DB \). Como además \( \angle B'DC = 3x \Longrightarrow \angle B'DE = x \), se deduce que el triángulo \( \triangle{DEB'} \) es congruente a los anteriores (a los isósceles de ángulos iguales \( x \)).
Por otra parte:
\( \angle B'EG = 360^o - (180^o - 2x + 180^o - 4x) = 6x \Longrightarrow \angle B'EC =5x \)
Por lo que se tiene la congruencia: \( \triangle{B'EC} \equiv \triangle{EDB} \) (criterio LAL), y por tanto \( EB = BC = CB' \). Finalmente construyendo un rombo respecto a \( EC \):
Se tiene el cuadrilátero cóncavo \( B'CPE \), con \( \angle PEB' = x \), \( \angle B'CP = 2x \) y \( B'C=CP=PE \), por lo que se puede aplicar el lema del cuadrilátero cóncavo. De donde:
\[ \angle CPE = 120^o-2x = 180^o-12x \Longrightarrow{} \]
\[ 10x = 60^o \Longrightarrow{} x = 6^o
\]
