Hola
Como no he leído los hilos recordados, lo más probable es que lo que escribo ya se habrá comentado... Sorry 
Lo que se me ocurre decir respecto a la supuesta paradoja de la escalera es que dado que para cualquier número \( x\in\mathbb{R} \) se verifica que \( x\cdot 0= 0 \) se tiene que \( 0=0\Longrightarrow a\cdot 0=b\cdot 0,\forall\,a,b\in\mathbb{R} \); sin embargo, \( 0=0\not\Longrightarrow \infty\cdot 0 =\infty \cdot 0 \), puesto que ambos miembros son indeterminaciones, distintas en el caso de la escalera,
\( \lim\limits_{n\to \infty}n\cdot \dfrac{2}{n} =2\neq \sqrt{2}=\lim\limits_{n\to \infty}n\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{n} \)
Pero eso lo único que hace es constatar que como cualquier línea quebrada de las que se están usando mide \( 2 \) su límite es \( 2 \) también y no coincide con la diagonal.
Yo recomiendo revisar los enlaces que apunté sobre el tema:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=15555https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=40449.0https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=12415La cosa es que ese ejemplo constata simplemente que la longitud del límite una familia de curvas (a falta de definir con precisión que es "el límite de una familia de curvas") no coincide con la longitud de los límites.
Entonces los problemas de fondo son:
- Precisar las posibles definiciones no necesariamente equivalentes de límite de una familia de curvas.
- Cuál de ellas o que hipótesis extra hay que poner para que si fuese cierto que la longitud del límite fuese el límite de longitudes.
Saludos.
