Un pequeño apunte, tal vez un poco filosófico.
A veces, para ayudarse en la comprensión de argumentos y la percepción que otros tienen sobre ellos, vale considerar los casos extremos, ya sea por ejemplo el caso más optimista o el caso más pesimista. Tal vez el punto de vista más pesimista es que no hay manera de convencerse de argumentos sobre infinitos actuales usando analogías intuitivas. De ahí que por más que se observe el comportamiento de un patrón generado en un número finito de pasos, según la visión pesimista, no se puede sacar legitimamente conclusión alguna del respectivo caso infinito. Una ilustración, que curiosamente también se podría llamar "diagonalización" si aceptamos ser torpes con el lenguaje, es el de la siguienta figura del libro
El infinito: una introducción, de Ian Stewart (2020):
Tomado de la edición original en inglés, de mayor circulación. Stewart reporta (traducción mía):
Imagínese una "escalera" regular a lo largo de la diagonal de un cuadrado de lado unitario.
La longitud total de esta línea poligonal —peldaños y contrahuellas— es 2 unidades, porque los peldaños suman 1 unidad, al igual que las contrahuellas. Si el número de escalones se vuelve infinito, y cada escalón se vuelve infinitamente pequeño, la escalera se convierte en la diagonal del cuadrado. Por lo tanto la longitud de la diagonal es 2.
Pero esto contradice el teorema de Pitágoras. La respuesta de Stewart a esta aparente paradoja es simplemente que la longitud de la curva dada por el límite de las sucesión de líneas poligonales no es de ningún modo el límite de las longitudes de los escalones. ¿Cómo sabe esto Stewart?
Independientemente de la respuesta —que desconozco, porque no sabría dónde consultar la teoría sobre sucesiones infinitas de líneas poligonales—, la moraleja es que, en efecto, la estrategia de abordar argumentos infinitistas usando analogías intuitivas es engañosa. La visión pesimista antes mencionada concluye entonces que para entender un teorema como el de Cantor sobre cuál es la relación de equipotencia entre
\( \left(0,1\right) \) y
\( \mathbb{N} \), hay que necesariamente seguir los argumentos matemáticos precisos, quizás examinando muy de cerca los axiomas y la genealogía de teoremas necesarios para el resultado de Cantor,
aceptando las reglas que hacen posible tal precisión científica. Para ejemplificar esto último, pienso en los inacabables debates sobre la identidad
\( 0.\overline{9}=1 \) que abundan en foros de internet. Estos debates no acaban precisamente porque cierta facción de los participantes no se acomoda al estándar de discusión científico (que implicaría examinar por ejemplo el axioma de completitud de
\( \mathbb{R} \) y la propiedad arquimediana) y se quedan sin superar la estrategia de usar solo argumentos intuitivos.
