Hola
Dos números reales distintos, por muy parecidos que sean en valor, se distinguirán siempre en una cifra que ocupará un mismo lugar finito (mismo lugar de orden de izquierda a derecha para los dos números, de tal forma que en ese lugar las cifras sean distintas para cada número; si esto no ocurre, entonces es el mismo número, no son distintos. Aclarando que tal cosa la tenemos que considerar escribiendo los enteros con coma seguida de ceros, para que todos los reales, sin excepción, se escriban con infinitas cifras) .
No existe la posibilidad de que dos números reales, sean cuales sean, se distingan en una cifra que ocupe el lugar de orden infinito; no existe eso.
Si. Aunque:
- Me llama la atención que especifiques lugar "finito" y más tarde que necesites recordar "en alto" que no hay cifras en un lugar infinito. ¡Claro que cualquier cifra ocupa un lugar finito y no sé que cosa podría hacer pensar lo contrario!. Se puede hablar de la segunda cifra decimal, la décima, la que ocupa el lugar 12.342, pero NO la que ocupa el lugar "infinito". ¿De dónde salió esa idea?.
- También me llama la atención que resaltes que dos números son iguales si tienen todas las cifras iguales y distintos si alguna es distinta. ¿No es de nuevo una obviedad extremadamente intuitiva? ¿Hace falta explicar a alguien que \( 0.41213=0.41213 \) pero \( 0.412\color{red}2\color{black}3\neq 412\color{red}1\color{black}3 \)?.
En realidad si hay un cabo suelto o matiz en esto
. Pero en el fondo es una cuestión técnica fácilmente salvable y diría que no vale la pena prestarle mucha atención hasta tener claro todo lo demás. Lo pongo en Spoiler.
Spoiler
Es que, por ejemplo:
\( 0.23=0.22999999\ldots \)
Ahí hay dos formas de representar un mismo número. Pero eso se salva escogiendo representaciones sin infinitos nueves seguidos al final.
Entonces, podremos considerar siempre la existencia de una porción de la tabla que sea cuadrada (aunque la tabla total pueda serlo o no; no nos importa) y a partir de la cual falte un número real en la tabla total (al menos un número). Pero esta tabla es cuadrada sin determinar, porque “n” no tiene máximo; con lo que tampoco existe ejemplo para esta tabla.
Aquí te empeñas de nuevo en hablar de "porciones cuadradas". Pero no veo la necesidad de pensar en porciones.
Por ejemplo si defino la sucesión de números pares \( a_n=2n \). ¿La ves claramente definida o te hace falta pensar en "porciones"?.
Si te hablo del número entre \( 0 \) y \( 1 \) que en su cifra decima enésima tiene \( (-1)^n+3 \), ¿lo ves bien definido o no?. ¿O tienes que pensar en porciones?.
Spoiler
\( 0.242424242424\ldots \)
Entonces el argumento diagonal afirma que escogiendo un número que para todo \( k \) tenga su cifra decimal \( k \)-ésima diferente de la cifra decimal \( k \)-ésima del número que aparece en la fila \( k \) de la lista, tal número no puede estar en la lista.
Si estuviese tendría que coincidir con alguna fila \( k \). Pero quedamos que tal número tiene su cifra decimal \( k \)-ésima diferente de la cifra decimal \( k \)-ésima del número que aparece en la fila \( k \) de la lista. No pueden coincidir.
Y no hace falta porción ninguna de nada.
En todo caso uno puede añadir un dibujo orientativo de esta idea escribiendo algunos números, con algunas cifras decimales, pero completadas con puntos suspensivos para evocar que no se acaban, marcando en rojo las cifras decimales en posición \( k \) de la fila \( k \) (que forman esa "diagonal"). Y ojo, eso no es una versión finita del asunto, como tu pareces empeñarte en considerar.
Saludos.
