[pilar12]

\( XA + BX = C \)
\( XAA^{-1} + B^{-1}BX= B^{-1}CA^{-1} \)
\( X +X = B^{-1}CA^{-1} \)
\( 2X = B^{-1}CA^{-1} \)
\( X = (1/2) (B^{-1}CA^{-1}) \)

Quería saber si esto esta bien y si no, ¿Cómo se haría?
Gracias de antemano por vuestras respuestas,

[Luis Fuentes]

Hola

 No, no está bien.

\( XA + BX = C \)
\( XAA^{-1} + B^{-1}BX= B^{-1}CA^{-1} \)

Ya no está bien este primer paso. para poder introducir esas inversas \( A^{-1} \) y \( B^{-1} \) tienes que multiplicar TODA la ecuación por \( A^{-1} \) por la derecha:

\( XAA^{-1}+BXA^{-1}=CA^{-1} \)

y luego por \( B^{-1} \) a la izquierda:

\( B^{-1}XAA^{-1}+B^{-1}BXA^{-1}=B^{-1}CA^{-1} \)

Quedaría:

\( B^{-1}X+XA^{-1}=B^{-1}CA^{-1} \)

Con lo cual no solucionamos nada.

Entonces en realidad no se puede despejar X de ahí matricialmente.

Hay una forma de expresar la solución "vectorizando" los elementos de \( X \) y tensorizando (o usando productos de Kronecker) las matrices, pero dudo mucho que sea lo que buscas; no es algo muy común.

Entonces, ¿exactamente cuál es el enunciado del ejercicio y en qué contexto lo has encotrado?.

Saludos,

[AlbertR]

Hola @pilar12, ¿has copiado bien el enunciado? Nota que si el enunciado fuese:

1) \( X A+X B=C \)

La solución sería.

\( X(A+B)=C \)

Si la matriz (A+B) es invertible:

\( X(A+B)(A+B)^{-1}=C (A+B)^{-1} \)

\( X=C (A+B)^{-1} \)


2) O si el enunciado fuese:

\( A X+B X=C \)

\( (A+B)X=C \)

Si la matriz (A+B) es invertible:

\( (A+B)^{-1}(A+B) X=(A+B)^{-1} C \)

\( X=(A+B)^{-1} C \)

Saludos.

[feriva]

\( XA + BX = C \)
\( XAA^{-1} + B^{-1}BX= B^{-1}CA^{-1} \)
\( X +X = B^{-1}CA^{-1} \)
\( 2X = B^{-1}CA^{-1} \)
\( X = (1/2) (B^{-1}CA^{-1}) \)

Quería saber si esto esta bien y si no, ¿Cómo se haría?
Gracias de antemano por vuestras respuestas,

Sólo un consejo, aparte de lo que ya te han dicho.

Cuando vayas a multiplicar toda la ecuación por algo, pon antes paréntesis en los dos lados; por lo menos hasta que tengas más costumbre en cuanto a hacer estos ejercicios. O sea, así:

\( (XA+BX)=(C) \)

Si ahora quieres multiplicar por la inversa de A (donde estamos suponiendo que tiene inversa) como está a la derecha de X, pues la ponemos por la derecha del paréntesis

\( (XA+BX)A^{-1}=(C)A^{-1} \)

y después aplicas la distributiva

\( X+BXA^{-1}=CA^{-1} \).

Ahí podrías hacer en principio

\( X=CA^{-1}-BXA^{-1} \)

donde se puede sacar factor común a la inversa de A

\( X=(C-BX)A^{-1} \)

pero esto no sirve para aislar la X. Hace falta saber si te dan algunos datos más o si está bien copiado el enunciado.

Saludos.

[pilar12]

Gracias a todos por vuestras prontas respuesta. El enunciado lo he puesto yo, pues "trasteando" con este tema me ha surgido esta duda.
De todas formas voy a ver si encuentro un ejemplo de matrices de dos por dos (para que sea más fácil) poniendo a la matriz x con letras.  a b
                                                  c  d
Sigo investigando.
Como siempre quedo muy a gradecida a mi querido foro.

[Pie]

Gracias a todos por vuestras prontas respuesta. El enunciado lo he puesto yo, pues "trasteando" con este tema me ha surgido esta duda.
De todas formas voy a ver si encuentro un ejemplo de matrices de dos por dos (para que sea más fácil) poniendo a la matriz x con letras.  a b
                                                  c  d
Sigo investigando.
Como siempre quedo muy a gradecida a mi querido foro.

Aquí tienes varios ejercicios con solución (en spoiler) por si te interesa: Ecuaciones matriciales.

Lo que tienes que tener claro es que la multiplicación de matrices no es conmutativa, entonces siempre que multipliques matrices en una igualdad tienes que hacerlo por el mismo lado en ambos miembros (a parte de multiplicarlo todo como te decia Luis, pero esto ya no es solo con matrices sino en general )

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

\( XA + BX = C \)
\( XAA^{-1} + B^{-1}BX= B^{-1}CA^{-1} \)
\( X +X = B^{-1}CA^{-1} \)
\( 2X = B^{-1}CA^{-1} \)
\( X = (1/2) (B^{-1}CA^{-1}) \)

Quería saber si esto esta bien y si no, ¿Cómo se haría?
Gracias de antemano por vuestras respuestas,

Suponiendo que todas las matrices son cuadradas, un caso particular en el que se podría resolver fácil es si fuera \( A=\alpha I, B=\beta I \) con \( \alpha,\beta\in\mathbb{R}, \alpha+\beta\neq 0 \), 
en cuyo caso,
\( XA+BX=C\Longleftrightarrow (\alpha+\beta)X=C\Longrightarrow X=\dfrac{1}{\alpha+\beta}C \).
Por otro lado, si el orden de las matrices es bajo,  y siendo \( A,B \) y \( C \) conocidas, otra forma sería planteando un sistema de ecuaciones.
Ejemplo:
\( A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&2\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cc}0&3\\2&5\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}x&y\\z&t\end{array}\right) \).
Entonces...\(
XA+BX=C\\
\left(\begin{array}{cc}x+y&y\\z+t&t\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}z&t\\2z&2t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&3\\2&5\end{array}\right)\\
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\
y+t=3\\
3z+t=2\\3t=5\end{array}\right. \) de donde
\( t=\dfrac{5}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\\z=\dfrac{1}{9}\\x=\dfrac{-13}{9} \) luego
\( X=\dfrac{1}{9}\left(\begin{array}{cc}-13&12\\1&15\end{array}\right) \)
 
Saludos

[pilar12]

Muchas gracias por el interés tomado en mi problema. Ya encontré un ejemplo de resolver este tipo de ecuaciones matriciales sin despejar la X.
Ani_ pascual: me viene muy bien tu ejemplo que entiendo perfectamente.
Mil gracias.

[Richard R Richard]

\( XA + BX = C \)

Me pregunté, si esto era trabajo fácil para la IA...
Le pregunte :
"si A,B,C,y X son matrices de 3 por 3 , X.A+B.X=C , escribe las componentes de X en función de las componentes de A,B y C, muestrame los resultados en formato LATEX"

y luego de un par de vueltas de no quererme mostrar lo que buscaba obtuve...

La solución componente-a-componente equivale a invertir una matriz simbólica 9×9 cuyos coeficientes son polinomios en los $$a_{ij}​,b_{ij}​$$. El denominador común será el determinante de esa 9×9 y tendrá miles de términos en general; cada numerador será comparable en complejidad.

El resultado expandido ocupa decenas o cientos de páginas en LATE​X. Generarlo e insertarlo aquí produciría un texto inmanejable y muy difícil de leer o usar sin procesarlo como archivo.

Así que casos generales son complicados para despejar cada componente de $$X$$ individualmente.

[Luis Fuentes]

Hola

\( XA + BX = C \)

Me pregunté, si esto era trabajo fácil para la IA...
Le pregunte :
"si A,B,C,y X son matrices de 3 por 3 , X.A+B.X=C , escribe las componentes de X en función de las componentes de A,B y C, muestrame los resultados en formato LATEX"

y luego de un par de vueltas de no quererme mostrar lo que buscaba obtuve...

La solución componente-a-componente equivale a invertir una matriz simbólica 9×9 cuyos coeficientes son polinomios en los $$a_{ij}​,b_{ij}​$$. El denominador común será el determinante de esa 9×9 y tendrá miles de términos en general; cada numerador será comparable en complejidad.

El resultado expandido ocupa decenas o cientos de páginas en LATE​X. Generarlo e insertarlo aquí produciría un texto inmanejable y muy difícil de leer o usar sin procesarlo como archivo.

Así que casos generales son complicados para despejar cada componente de $$X$$ individualmente.

OJO. El motivo que da ahi Chat GPT para decir que es una solución compleja de expresar, tiene más que ver con el hecho de que la expresión de una inversa explícitamente es muy prolija en función de los coeficientes que con la particularidad de la ecuación que propuso pilar12.

Por ejemplo si planteamos para matrices \( 10\times 10 \) la ecuación matricial (suponiendo \( A \) inversible):

\( AX=B \)

puede resolverse matricialmente sin problema como:

\( X=A^{-1}B \).

Sin embargo para la ecuación \( AX+XA=B \) ya no es posible dar una solución sencilla matricial (si usar otro tipo de conceptos) de la solución.

No obstante tanto en un caso como en otro si uno quiere obtener una expresión explícita de los coeficientes de \( X \) en función de los coeficientes de \( A,B \), sería un infierno de escribir, porque simplemente la expresión explícita de \( A^{-1} \) supone expresar como denominador \( det(A) \) que estaría formado por \( 10!=3.628.800 \) términos.

Entonces que la ecuación de pilar12 sea más "puñetera" para resolver que \( AX=B \) o que \( AX+BX=C \) como ya se ha apuntado tiene más bien que ver con que el producto de matrices no es conmutativo.

Saludos.

Spoiler

P.D. Como dije arriba introducción producto de Kronecker y un vector formado por las componentes de una matriz si puede darse una expresión de la solución en la forma:

$$vec(X) = [ (A^t \otimes I) + (I \otimes B) ]^{-1} vec(C)$$

[cerrar]