[malboro]

Hola  a todos. No se si el título tenga sentido con las preguntas que tengo.

Voy a calcular la siguiente integral indefinida utilizando un cambio de variable \( \displaystyle\int_{}^{}3x\sqrt[ ]{5x^2+7}dx \)

\( u=5x^2+7 \)
\( du=10xdx \), de esto último ¿puedo despejar \( dx \), es decir  \( \displaystyle\frac{du}{10x}=dx \)?

En caso se pueda despejar  \( x \), se tiene \( \displaystyle\int_{}^{}3x\sqrt[ ]{5x^2+7}dx=\displaystyle\int_{}^{}3x\sqrt[ ]{u}\displaystyle\frac{du}{10x} \) ¿puedo eliminar \( x \) ?

Muchas gracias

[AlbertR]

En la integral que has escrito falta "dx", tenemos:

\( \displaystyle \int 3x \sqrt{5 x^2+7} \, dx \)

El cambio de variable:

\( u=5x^2+7 \)

Derivamos:

\( du=10 x \, dx \)

Despejamos lo que nos interesa:

\( x \, dx=\dfrac 1{10} du \)

Sustituyendo en la integral:

\( \displaystyle \int 3x \sqrt{5 x^2+7} \, dx=\displaystyle \int 3 \sqrt{5 x^2+7} \, x \, dx=\displaystyle \int  3\sqrt{u} \, \dfrac 1{10} \, du=\displaystyle \dfrac 3{10} \int  \sqrt{u} \, du \)

Saludos.

[martiniano]

Hola.

En caso se pueda despejar  \( x \), se tiene \( \displaystyle\int_{}^{}3x\sqrt[ ]{5x^2+7}=\displaystyle\int_{}^{}3x\sqrt[ ]{u}\displaystyle\frac{du}{\color{red}2x} \) ¿puedo eliminar \( x \) ?

Sí. De hecho diría que queda como más elegante efectuar todas las sustituciones a la vez como hace AlbertR. Lo que tienes es una errata en el denominador. El 2 debería ser 10.

Saludos.

[malboro]

Muchas gracias, a los dos. La duda que tengo es si puedo despejar \( dx \), ya que en ese caso \( x \) estaría en el denominador.

[martiniano]

Hola.

Diría que el caso es que acabes planteando la integral correcta. Lo que hagas por en medio son más bien pasos memotécnicos. En eses sentido no creo que sea grave que haya aparecido momentáneamente un denominador que se anule en un punto.

Un saludo.