Saludos, abro hilo porque tengo una duda en relación a la demostración del teorema 6.31 del libro de lógica matemática de Carlos Ivorra (ver capturas 1 y 2)
A partir de donde pone "Como la fórmula \( \psi \) es claramente \( \Delta_{1} \)..." me perdí completamente.
¿De qué forma se aplica el teorema 5.57 (o 6.12)? ¿En dónde quedó la variable "a" al aplicar el teorema?
Voy a considerar, por ejemplo, el caso de \( I\Sigma_1 \), en el que se emplea 5.57.
Ante todo, tenemos la fórmula \( \psi(x, n, a, y) \) que afirma que el conjunto \( y \) está formado por todas las extensiones \( f: I_{n+1}\longrightarrow x \) de las funciones \( s:I_n\longrightarrow x \) pertenecientes a \( a \), de modo que si \( a = x^n \), entonces \( y = x^{n+1} \).
El teorema 5.57 parte de dos fórmulas, una \( x\in X \), que en nuestro caso podemos tomar como \( x = x \), y otra \( \psi(n, x, y) \) (que puede tener más variables libres). Ojo porque no encajan los nombres de las variables en los dos enunciados. Vamos a aplicar el teorema 5.57 tomando como \( \psi(n, x, y) \) la fórmula \( \psi(x, n, a, y) \) donde \( x \) es una variable adicional (de las que permite 5.57), \( n \) es la \( n \) de 5.57, \( a \) es la \( x \) de 5.57 e \( y \) es la \( y \) de 5.57.
La hipótesis que requiere 5.57 (eliminando \( x\in X \), que en nuestro caso es trivial y usando los nombres de las variables según el enunciado de 6.31) es \( \forall na\exists ! y\,\psi(x, n, a, y) \) y esto es justo lo que se demuestra al principio de la prueba de 6.31.
Ahora aplicamos el teorema 5.57 tomando \( a = \{\emptyset\} \). El teorema nos da una función \( F \) definida por una fórmula \( \chi \) de modo que se cumple
\( F(0) = \{\emptyset\}\land \forall n F(n+1) = G(n, F(n)) \),
donde \( G(n, a) \equiv y\mid \psi(x, n, a, y) \). Así, \( F(n+1) \) es el único \( y \) que cumple \( \psi(x, n, F(n), y) \).
La idea es que, entonces, \( F(n+1) \) es el conjunto de todas las extensiones de las funciones \( s: I_n\longrightarrow x \) que pertenecen a \( F(n) \), por lo que si \( F(n) = x^n \), entonces \( F(n+1) = x^{n+1} \).
Como, ciertamente, \( F(0) = \{\emptyset\} = x^0 \), se cumple que \( F(n) = x^n \) para todo \( n \).
Ésta es la idea de la prueba. En la práctica, lo que se demuestra, por inducción sobre \( n \), es que si \( f: I_n\longrightarrow x \), entonces \( f\in F(n) \).
A ver si así está claro.
En la práctica, en lugar de tratar de ajustar 6.31 (o cualquier otra definición por recurrencia) a la notación de 5.57, es más práctico que te quedes con la idea de fondo: una definición como
\( x^0 = \{\emptyset\}\land \forall n\, x^{n+1} = G(x, n, x^n) \)
es legítima en \( I\Sigma_1 \) porque la fórmula \( \psi(x, n, a, y) \) que dice cómo se construye \( x^{n+1} \) a partir de (el parámetro) \( x \), de \( n \) y de \( a = x^n \) es \( \Sigma_1 \).
