[Nub]

Hola

Sea \( V \)un e.v de dim finita con producto interno sobre el cuerpo\( \mathbb{K} \) y\(  S \subseteq{} V \) un subespacio no trivial.
Demostrar que si \( T:S\rightarrow{V} \) es una transformación lineal tal que\(  ||T(s)||=||s||\forall{s\in{S}} \) entonces existe un operador unitario u ortogonal \( \hat{T}:V\rightarrow{V}/ \hat{T}(s)=T(s)\forall{s\in{S}} \)

No se me ocurre como probarlo

Gracias

[Masacroso]

Hola

Sea \( V \)un e.v de dim finita con producto interno sobre el cuerpo\( \mathbb{K} \) y\(  S \subseteq{} V \) un subespacio no trivial.
Demostrar que si \( T:S\rightarrow{V} \) es una transformación lineal tal que\(  ||T(s)||=||s||\forall{s\in{S}} \) entonces existe un operador unitario u ortogonal \( \hat{T}:V\rightarrow{V}/ \hat{T}(s)=T(s)\forall{s\in{S}} \)

No se me ocurre como probarlo

Gracias

Idea: toma una base ortonormal de \( S \) y extiéndela a una de \( {\color{red}{V}} \).

Corregido.

[Nub]

Hola

Sea \( V \)un e.v de dim finita con producto interno sobre el cuerpo\( \mathbb{K} \) y\(  S \subseteq{} V \) un subespacio no trivial.
Demostrar que si \( T:S\rightarrow{V} \) es una transformación lineal tal que\(  ||T(s)||=||s||\forall{s\in{S}} \) entonces existe un operador unitario u ortogonal \( \hat{T}:V\rightarrow{V}/ \hat{T}(s)=T(s)\forall{s\in{S}} \)

No se me ocurre como probarlo

Gracias

Idea: toma una base ortonormal de \( S \) y extiéndela a una de \( T \).

Si, se me habia ocurrido algo asi, pues si va de base ortonormal a base ortonormal tengo que es isometria sobreyectiva y por lo tanto operador unitario...

Suponga que \( V \) tiene dimencion \( n \) y sea \( B=\left\{{s_1,s_2,...,s_r}\right\} \) base ortonormal de S entonces a completar B a una base ortonormal de V (Podemos hacer esto por gram smith no? creo que es un corolario que dice básicamente que dada una base siempre podemos encontrar una ortonormal, entonces vamos a poder encontrar vectores tal que al completar se siga manteniendo ortonormal)
Entonces \( \hat{B}=\left\{{s_1,...,s_r,v_1,v_2,..,v_n}\right\} \) ahora la gran pregunta es como se que \( T(\hat{B}) \) es base ortonormal de V, por hipotesis tenemos que \( T:S\rightarrow{V} \) es una isometria pero no es sobreyectiva... por eso no se como seguir

[Guli-Guli]

Si tú tienes dos bases \( \{ u_1, \dots, u_n \} \) y \( \{ w_1, \dots, w_n \} \) de \( V \), puedes construir un operador lineal \( T \colon V \longrightarrow V \) que lleve biyectivamente elementos de la primera base a la segunda.

La idea es hacer lo mismo en tu caso; solamente hay que exigir que las bases sean ortonormales. Tú tienes construida una base de \( V \) que corresponde al dominio, y sólo te falta la otra que corresponde al codominio. Dado que ya partes de un operador lineal \( T \colon S \longrightarrow V \), la otra base debe contener el conjunto \( \{ T(s_1), \dots, T(s_r) \} \).

[Nub]

Dado que ya partes de un operador lineal \( T \colon S \longrightarrow V \), la otra base debe contener el conjunto \( \{ T(s_1), \dots, T(s_r) \} \).

¿Y cómo se que es base ortonormal?

[Guli-Guli]

¿Y cómo sé que es base ortonormal?

Pero no dije que lo sea, sino que a partir de ella la tienes que construir, de forma análoga a que hiciste con \( \{ s_1, \dots, s_r \} \). Por ejemplo, puedes extender \( \{ T(s_1), \dots, T(s_r) \} \) a una base de \( V \) y luego aplicar el algoritmo de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de \( V \).

Obtienes, por tanto, dos bases ortonormales de \( V \):

\( \{ s_1, \dots, s_r, v_1, \dots, v_n \}, \qquad \{ T(s_1), \dots, T(s_r), v_1', \dots, v_n' \} \).

Ahora ya puedes aplicar lo que te dije al principio.

[Nub]

¿Y cómo sé que es base ortonormal?

Pero no dije que lo sea, sino que a partir de ella la tienes que construir, de forma análoga a que hiciste con \( \{ s_1, \dots, s_r \} \).

Si, pero ahí asumía que era una base ortonormal de S, lo que yo pregunto es como se que \( \{ T(s_1), \dots, T(s_r) \} \) es base ortonormal.
No se si entendi bien, lo que tu dices es completar \( \{ T(s_1), \dots, T(s_r) \} \) por ejemplo \( \{ T(s_1), \dots, T(s_r),u_1,...,u_n \} \) y luego aplicar gram schmidt a \( \left\{{u_1,...,u_n}\right\} \) y obteniendo \( \{t(s_1)..T(s_r),z_1,...,z_n \} \) base ortonormal de V

Otra cosa, no le veo mucho sentido a esto, si al final estoy tomando bases ortonormales cualquiera bajo la excusa de usar gram schmidt... para que usar los \( t(s_i) \) podria tomar cualquiera

[Guli-Guli]

Si, pero ahí asumía que era una base ortonormal de S, lo que yo pregunto es cómo sé que \( \{ T(s_1), \dots, T(s_r) \} \) es base ortonormal.

¿Pero con respecto a qué espacio? Si te refieres a \( V \), es imposible al menos que \( S = V \); por eso queremos extenderlo a una base ortonormal. Si te refieres a \( T(S) \), sí. La idea es probar previamente que \( T \) es una isometría, es decir, que \( \left<{T(r), T(s)}\right> = \left<{r, s}\right> \) para todo \( r, s \in S \).

Intenta probarlo.

Pista

Aplicas bilinealidad para desarrollar \( \left<{r+s, r+s}\right> \) y obtener, así, \( \Re\!\left<{r, s}\right> \) en términos de puras normas.

Si \( \mathbb{K} = \mathbb{R} \), ya tendrías una fórmula para \( \left<{r, s}\right> \) en términos de puras normas. En caso contrario, si cambias en la fórmula \( s \) por \( is \), obtienes también \( \Im\!\left<{r, s}\right> \) en términos de puras normas.

[cerrar]

Otra cosa: no le veo mucho sentido a esto. Si al final estoy tomando bases ortonormales cualesquiera bajo la excusa de usar Gram-Schmidt... ¿para qué usar los \( \textcolor{blue}{T}(s_i) \)? Podría tomar una cualquiera.

Porque necesitas garantizar que \( \hat{T}(s) = T(s) \) para todo \( s \in S \), y en particular lo mismo para los elementos de la base de \( S \).

[Nub]

Si, pero ahí asumía que era una base ortonormal de S, lo que yo pregunto es cómo sé que \( \{ T(s_1), \dots, T(s_r) \} \) es base ortonormal.

¿Pero con respecto a qué espacio? Si te refieres a \( V \), es imposible al menos que \( S = V \);

Cierto

La idea es probar previamente que \( T \) es una isometría, es decir, que \( \left<{T(r), T(s)}\right> = \left<{r, s}\right> \) para todo \( r, s \in S \).

Intenta probarlo.

¿Es necesario probar eso? para que o en que parte de la prueba usare la hipótesis que \( ||T(s)||=||s|| \) para todo \( s \) en \( S \) ? lo único que puedo sacar de ahí es que si S es t-invariante me puedo restringir a S y T restringido S es isometria

Porque necesitas garantizar que \( \hat{T}(s) = T(s) \) para todo \( s \in S \), y en particular lo mismo para los elementos de la base de \( S \).

Entiendo

Otra pregunta, si yo tengo una base ortonormal, la completo (ya no es ortonormal) y luego le hago G-S no te cambian los vectores? y por lo tanto no te cambian los T(s) que necesitamos?

Esta confuso esto, no se si es difícil o estoy dando muchas vueltas, lo que si esta claro la idea, hacer una biyeccion entre 2 bases ortonormales

[Guli-Guli]

¿Es necesario probar eso? ¿Para qué o en qué parte de la prueba usaré la hipótesis de que \( ||T(s)||=||s|| \) para todo \( s \) en \( S \)? Lo único que puedo sacar de ahí es que, si \( S \) es \( T \)-invariante, me puedo restringir a \( S \), y \( T \) restringido \( S \) es una isometría.

Ah, era por si no sabías la equivalencia entre definir una isometría como operador lineal que preserva los productos internos o que preserva las normas.

De todas formas, en nuestro contexto diría que es importante para obtener las dos bases ortonormales, ya que te permite garantizar que la base \( \{ T(s_1), \dots, T(s_r) \} \) de \( T(S) \) es ortonormal si lo es \( \{ s_1, \dots, s_r \} \) de \( S \).

Otra pregunta: si yo tengo una base ortonormal, la completo (ya que no es ortonormal) y, luego, le hago Gram-Schmidt, ¿no te cambian los vectores, y por lo tanto no te cambian los \( T(s) \) que necesitamos?

No, porque si \( (u_1, \dots, u_n) \) es una base ordenada de \( V \), el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt me permite construir una base ortogonal ordenada \( (w_1, \dots, w_n) \) de \( V \) así:

\( w_k = u_k - \displaystyle\sum_{i=1}^{k-1} \frac{\left<{u_k, w_i}\right>}{\left\|{w_i}\right\|^2}w_i \)

para todo \( k=1, \dots, n \). (Para \( k=1 \) sería \( w_1 = u_1 \).)

Puedes observar que la base ordenada \( (T(s_1), \dots, T(s_r), v_1', \dots, v_n') \) de \( V \) no se te cambia \( T(s_1), \dots, T(s_r) \) al aplicar Gram-Schmidt, ya que son ortogonales.