[zorropardo]

Probar que :

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)}  } > $$    0

Gracias de antemano.

[Carlos Ivorra]

Probar que :

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)}=1. }$$

Yo diría que el límite es \( \ln 2 \).

[zorropardo]

Hola, como se probaria que el limite es $$\ln 2$$   

o garantizar que sea $$>0.$$

[Carlos Ivorra]

Hola, como se probaria que el limite es $$\ln 2$$   

o garantizar que sea $$>0.$$

Porque

\( \displaystyle \frac1{(2n-1)(2n)} = \frac1{2n-1}-\frac1{2n} \).

Entonces,

\( \displaystyle  \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)} = \frac11-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots + \frac1{2n-1}-\frac1{2n} = \sum\limits_{i=1}^{2n}\frac{(-1)^{i+1}}{i} \)

Y es conocido que esa serie tiende a \( \ln 2 \).

Añado: Si modificas el enunciado, debes marcar en rojo la modificación, si no, quien lea el hilo no entenderá nada.

[zorropardo]

Muy agradecido, ya lo modifique.

[Juan Pablo Sancho]

o garantizar que sea $$>0.$$

Si sumas términos positivos seguro que el límite si existe es positivo.

Corregido: Lo siguiente ni caso
Supongo querías poner:

Probar que :

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)}  } = \color{red}\ln(e/2)\color{black} $$

Gracias de antemano.

Gracias ani_pascual.

[delmar]

Hola

Veo que  Carlos Ivorra te ha respondido, acertadamente,  muestro un análisis.

Esa sucesión la podemos poner como una serie y esta serie también es una sucesión \( S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{(2k-1) \ 2k}} \), se observa que es una serie de términos positivos, usando la comparación por paso al límite con la serie \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \), que es convergente se obtiene :

\( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{1/[(2k-1)(2k)]}{1/k^2}}=\displaystyle\frac{1}{4}>0 \) en consecuencia \( S_k \) converge y por ser de términos positivos, converge a sus extremo superior, el cual necesariamente es positivo.

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...

Y es conocido que esa serie tiende a \( \ln 2 \).
...

Hola:
Entonces... \(  \lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{4\cdot 5}+\cdots +\dfrac{1}{(2k)(2k+1)}=\ln\left(\dfrac{e}{2}\right) \), ¿no? 
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Tienes razón 

[Carlos Ivorra]

Entonces... \(  \lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{4\cdot 5}+\cdots +\dfrac{1}{(2k)(2k+1)}=\ln\left(\dfrac{e}{2}\right) \), ¿no? 

En efecto.