[iago_mz]

¡Hola! He realizado el siguiente ejercicio, viene de otros cálculos, pero en este punto no puedo demostrar lo que me piden.
Me piden demostrar que \[ M^2 = M \]
Donde:
\( M= \begin{bmatrix}{-\alpha^2-\beta^2+1}&{\beta+γ}&{\alpha+\gamma}\\{\beta+\gamma}&{-\alpha^2-\gamma^2+1}&{\alpha*\beta}\\{\alpha*\gamma}&{\alpha*\beta}&{-\beta^2-\gamma^2+1}\end{bmatrix} \)

El resultado que obtengo, a mi entender no es idempotente, \[ M^2 \neq M \] o para que sean equivalentes \( \alpha+\beta+\gamma = 1 \)

¿Es correcta mi conclusión?
Gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

¡Hola! He realizado el siguiente ejercicio, viene de otros cálculos, pero en este punto no puedo demostrar lo que me piden.
Me piden demostrar que \[ M^2 = M \]
Donde:
\( M= \begin{bmatrix}{-\alpha^2-\beta^2+1}&{\beta+γ}&{\alpha+\gamma}\\{\beta+\gamma}&{-\alpha^2-\gamma^2+1}&{\alpha*\beta}\\{\alpha*\gamma}&{\alpha*\beta}&{-\beta^2-\gamma^2+1}\end{bmatrix} \)

El resultado que obtengo, a mi entender no es idempotente, \[ M^2 \neq M \] o para que sean equivalentes \( \alpha+\beta+\gamma = 1 \)

¿Es correcta mi conclusión?
Gracias de antemano.

No da \( M^2=M \) ni de lejos; ni siquiera con la condición que dices \( \alpha+\beta+\gamma = 1 \).

Por ejemplo si \( \alpha=2, \)  \( \beta=-1, \) \( \gamma=0 \) la matriz queda:

\( M=\begin{pmatrix}-4&-1&2\\ -1&-3&-2\\0&-2&0\\\end{pmatrix} \)

y no cumple \( M^2=M \).

¿Cómo es exactamente el enunciado o el contexto?¿Está seguro de que has copiado bien la matriz?

Saludos.

[iago_mz]

Hola. Gracias por tu respuesta
La matriz original es:

\begin{bmatrix}{0}&{\alpha}&{-\beta}\\{-\alpha}&{0}&{\gamma}\\{\beta}&{-\gamma}&{0}\end{bmatrix}

Con esta matriz, además de otras operaciones, he tenido que probar que \( M = A^2 + I^3 \) es simétrica, esto no he tenido dificultad.

Luego me piden probar que \( M^2=M \) y por eso estoy aqui.

Gracias nuevamente
Mensaje corregido desde la administración.

[ani_pascual]

Hola:

...
Me piden demostrar que \[ M^2 = M \]
Donde:
\( M= \begin{bmatrix}{-\alpha^2-\beta^2+1}&{\beta+γ}&{\alpha\textcolor{red}{+}\gamma}\\{\beta+\gamma}&{-\alpha^2-\gamma^2+1}&{\alpha*\beta}\\{\alpha*\gamma}&{\alpha*\beta}&{-\beta^2-\gamma^2+1}\end{bmatrix} \)

El resultado que obtengo, a mi entender no es idempotente, \[ M^2 \neq M \] o para que sean equivalentes \( \textcolor{red}{\alpha+\beta+\gamma = 1} \)

¿Es correcta mi conclusión?
...

Supongo que hay una errata en el elemento \( a_{13} \) ¿No sería \( \alpha\cdot \gamma \)?
Por otra parte, solo he hecho el cálculo del elemento \( a_{11} \) de la matriz \( M^2 \), y apunta a que la condición para que \( M \) sea idempotente es que \( \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. Gracias por tu respuesta
La matriz original es:

\( \begin{bmatrix}{0}&{\alpha}&{-\beta}\\{-\alpha}&{0}&{\gamma}\\{\beta}&{-\gamma}&{0}\end{bmatrix} \)

Con esta matriz, además de otras operaciones, he tenido que probar que \( M = A^2 + I^3 \) es simétrica, esto no he tenido dificultad.

Si; como \( A \) es hemisimétrica, es decir \( A^t=-A \):

\( M^t=(A^2+I)^t=(A^t)^2+I^t=(-A)^2+I=A^2+I=M \)

Luego me piden probar que \( M^2=M \) y por eso estoy aqui.

Equivale a probar:

\( (A^2+I)^2=A^2+I \)

Simplificando \( A^4=-A^2 \).

Pero se puede ver que \( A^4=-A^2(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) \). Por tanto la igualdad se da (como indica ani_pascual) cuando \( \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 \)

Saludos.

P.D Por favor usa \alpha,\beta,\gamma en LaTeX para las letras griegas.

[iago_mz]

Gracias por tu respuesta, ahora me ha quedado claro!