[delmar]

Estimados foristas expongo una demostración de la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^n{cos^2 \ nx} \) en los reales, atento a sus observaciones y recomendaciones.

Dada la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^n{cos^2 \ nx} \),  \( x\in{R} \)

Tesis : Diverge

Demostración

Por reducción al absurdo, suponiendo que la serie converge para algún, x, ha de cumplirse necesariamente \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{cos^2 \ nx}=0 \) usando Pitágoras se tiene \( sen^2 \ nx=1-cos^2 \ nx\Rightarrow{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{sen^2 \ nx}=1} \) R1

Usando la identidad de diferencia y suma de cosenos se tiene :

\( cos \ (n+1)x-cos \ nx=-2 \ sen (nx+\displaystyle\frac{x}{2}) \ sen (\displaystyle\frac{x}{2}) \)

\( cos \ (n+1)x+cos \ nx=2 \ cos (nx+\displaystyle\frac{x}{2}) \ cos (\displaystyle\frac{x}{2}) \)


Haciendo el producto de las 2 ecuaciones y simplificando se tiene :

\( cos^2 \ (n+1)x-cos^2 \ nx=-sen \ x \ sen (2n+1)x \) R2

Hay 2 alternativas :

A) \( x\neq m \pi \)    B) \( x=m \pi \) donde \( m\in{Z} \)

Considerando la alternativa A) implica \( sen \ x\neq 0 \) luego se tiene :

\( sen (2n+1)x=(\displaystyle\frac{-1}{sen \ x}) \ (cos^2 \ (n+1)x-cos^2 \ nx)\Rightarrow{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{sen (2n+1)x}=0}\Rightarrow{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{sen^2 (2n+1)x}=0} \) R3 este resultado  es un absurdo, por que revela que existe una subsucesión impar del \( sen^2 \ nx \) que tiende a cero; pero debería tender a 1 por que \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{sen^2 \ nx}=1 \) según el resultado R1

Por lo tanto diverge

Alternativa B)

En este caso \( cos^2 \ nmx=1, \ \forall{n}\in{Z^+}\Rightarrow{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{cos^2 \ nmx}=1\neq 0} \) diverge por que no cumple la condición necesaria de convergencia.

Por lo tanto diverge

Atento a sus observaciones y recomendaciones.

Gracias de antemano.

Saludos

[Guli-Guli]

La demostración lo veo buena pero demasiada explicativa, sobretodo con esta parte:

Hay 2 alternativas :

A) \( x\neq m \pi \)    B) \( x=m \pi \) donde \( m\in{Z} \)

Considerando la alternativa A) implica \( sen \ x\neq 0 \) luego se tiene :

(...)

Por lo tanto diverge

Alternativa B)

(...)

Por lo tanto diverge

En vez de exponer dos alternativas, podrías descartar la opción \( x = m\pi \) directamente usando que \( \lim_{n \to \infty}\cos(nx)^2 = 0 \), y después de eso afirmar que \( \sin(x) \neq 0 \) y seguir con la reducción al absurdo.

Digo más que nada porque, si bien es de agradecer que las pruebas estén bien detalladas para que se entiendan, en el caso escrito es costoso seguir una prueba que vaya por casos.  Yo, por lo menos, lo uso cuando tenga que ir por casos. En tu caso no lo sería porque lo que tú llamas "alternativa B" ni siquiera lo es realmente.

[delmar]

Muchas gracias Guli-Guli valoro tu aporte y tomo nota de tu recomendación, la exposición es en efecto para enseñar, con cierto rigor, particularmente recuerdo que estas series su condición de convergencia o divergencia ya se consideraba establecida, pero cuando ya se pide algo más serio, entonces hay que estar preparados.

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Estimados foristas expongo una demostración de la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\textcolor{red}{n}}{cos^2 \ nx} \) en los reales, atento a sus observaciones y recomendaciones.

Dada la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\textcolor{red}{n}}{cos^2 \ nx} \),  \( x\in{R} \)

Tesis : Diverge

...

Atento a sus observaciones y recomendaciones.

...

Igual se me escapa algo, pero... ¿no se podría argumentar, más brevemente, así? 
\( x=0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}cos^2(nx)=1\Longrightarrow \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cos^2(nx) \) es divergente.
Si es \( x\neq 0 \) y \( \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cos^2(nx) \) es convergente, entonces \( \lim\limits_{n\to\infty}cos^2(nx)=0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\sin^2(nx)=1 \), lo cual es absurdo, ya que \( \not\exists\, \lim\limits_{n\to\infty}\sin^2(nx) \).
En definitiva, \(  \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cos^2(nx) \) no es convergente.  ¿Lo ves correcto?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si es \( x\neq 0 \) y \( \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cos^2(nx) \) es convergente, entonces \( \lim\limits_{n\to\infty}cos^2(nx)=0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\sin^2(nx)=1 \), lo cual es absurdo, ya que \( \not\exists\, \lim\limits_{n\to\infty}\sin^2(nx) \).
En definitiva, \(  \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cos^2(nx) \) no es convergente.  ¿Lo ves correcto?
Saludos

Es que ahí ya das por sabido que no existe el límite \( sin^2(nx) \). Entonces claro, el resultado es inmediato (con la misma uno puede dar por sabido que no existe el de \( cos^2(nx) \)).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...

Es que ahí ya das por sabido que no existe el límite \( sin^2(nx) \). Entonces claro, el resultado es inmediato (con la misma uno puede dar por sabido que no existe el de \( cos^2(nx) \)).     
...

¡Cierto ! 
Con argumentar que si es \( x\neq 0 \) no existe \( \lim\limits_{n\to\infty}\cos^2(nx) \) y si es \( x=0 \), \( \lim\limits_{n\to\infty}\cos^2(nx)=1 \), se prueba que la serie diverge.
Saludos

[delmar]

Hola:

Estimados foristas expongo una demostración de la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\textcolor{red}{n}}{cos^2 \ nx} \) en los reales, atento a sus observaciones y recomendaciones.

Dada la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\textcolor{red}{n}}{cos^2 \ nx} \),  \( x\in{R} \)


Saludos
Tesis : Diverge

...

Atento a sus observaciones y recomendaciones.

...

Igual se me escapa algo, pero... ¿no se podría argumentar, más brevemente, así? 
\( x=0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}cos^2(nx)=1\Longrightarrow \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cos^2(nx) \) es divergente.
Si es \( x\neq 0 \) y \( \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cos^2(nx) \) es convergente, entonces \( \lim\limits_{n\to\infty}cos^2(nx)=0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\sin^2(nx)=1 \), lo cual es absurdo, ya que \( \not\exists\, \lim\limits_{n\to\infty}\sin^2(nx) \).
En definitiva, \(  \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cos^2(nx) \) no es convergente.  ¿Lo ves correcto?
Saludos

Disculpa por la tardanza, no me agrada postear con celular, respecto a la demostración que haces es correcta, considerando como bien lo señala Luis Fuentes que se sabe,  \( \nexists \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{sen^2 nx} \); la que hago no lo considera conocido, demostrado.

Saludos