[Quema]

Sean variables aleatorias independientes \( X_i \) que toman dos valores \( 1<x_i\leq{}1+n \) y 0 con probabilidades, respectivamente: \( 1/x_i \) y \( 1-1/x_i. \) Quiero hallar el ínfimo de \( P(S_n<1+n) \) siendo \( S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i}. \)

Sin pérdida de generalidad se puede suponer que \( x_1\leq{}x_2\leq{}...\leq{}x_n. \) He notado que ese ínfimo, aparentemente está en los puntos de discontinuidad de esa probabilidad, ver adjunto. Por ejemplo, para \( n=4 \), si tengo un vector de los \( x_i \) igual a \( (2.5,3.7,4.2,4.3) \) entonces los puntos de discontinuidad (para \( x_1 \)) aparecen en los puntos 1.3, 2.5 y 5 (creo que para \( x_1 \) salen de simplemente hacer \( 5-x_i \) y se toman los que son mayores a 1, y también se toman los valores \( x_1 \) y \( x_n \)). ¿Se puede probar que esa probabilidad en función de cada \( x_i \) es creciente entre puntos de discontinuidad, tal cual aparece en el gráfico?. Numéricamente noto que los sumandos se mantienen los mismos dentro de los intervalos de discontinuidad y varía cuando se pasa a otro intervalo de discontinuidad.  ¿Eso implica que el ínfimo tiene estar en los puntos de discontinuidad de todas las \( x_i \)?

[Luis Fuentes]

Hola

 Si. Fijadas todas las variables menos una (pongamos la última pero sin que necesariamente estén ordenadas de menor a mayor). Si llamamos:

\( S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k \)

entonces:

\( f(x_n)=P(S_n< 1+n)=P(X_n=0)P(S_{n-1}<1+n)+P(X_n=x_n)P(S_{n-1}<1+n-x_n) \)

Las zonas de no discontinuidad aparecen cuando \( P(S_{n-1}<1+n-x_n) \) no depende de \( x_n \), es decir, esa probabilidad involucra siempre los mismos sumandos independientemente del valor de \( x_n \).

Además:

\( b=P(S_{n-1}<1+n-x_n)\leq P(S_{n-1}<1+n)=a \)

de manera que, es esos intervalos de continuidad,

\( f(x_n)=(1-1/x_n)a+(1/x_n)b=a-\dfrac{a-b}{x_n} \)

\( f'(x_n)=\dfrac{a-b}{x_n^2}\geq 0 \)

y por tanto la función es creciente.

Saludos.

[Quema]

¿Cuáles serían esas discontinuidades? ¿Esto implica que el ínfimo de \( f(x_1,x_2,...,x_n) \) esté en los puntos de discontinuidades de esta función?

[Luis Fuentes]

Hola

¿Cuáles serían esas discontinuidades? ¿Esto implica que el ínfimo de \( f(x_1,x_2,...,x_n) \) esté en los puntos de discontinuidades de esta función?

Si; pero cuidado no son puntos de discontinuidad. Son hipersuperficies de discontinuidad, es decir, hay infinitos puntos de discontinuidad. Por ejemplo para \( n=2 \), todos los puntos con \( x_1+x_2=1+2. \)

En general todos los puntos donde se verifica que algún subconjunto de variables suma \( 1+n \). Por ejemplo para n=3 todos los puntos cumpliendo:

\( x_1+x_2=4 \)
\( x_1+x_3=4 \)
\( x_2+x_3=4 \)
\( x_1+x_2+x_3=4 \)

Saludos.

[Quema]

Y si suponemos, para \( n=3 \), que \( x_1\leq{}x_2\leq{}x_3 \), no se puede simplificar la optimizaciòn. Se deben cumplir esas desigualdades a la vez? El punto anterior implica que el ínfimo es en alguno de esos puntos? No me queda claro que para \( n=3 \) el ínfimo está en los puntos \( x_1=x_2=x_3=4 \) y no cumplen esas desigualdades, no será que falta también incluir esos extremos, pero no me queda claro cómo influye si lo tenemos ordenados de forma creciente, ahí sería \( x_1=x_2 \) etc.

[Luis Fuentes]

Hola

Y si suponemos, para \( n=3 \), que \( x_1\leq{}x_2\leq{}x_3 \), no se puede simplificar la optimizaciòn. Se deben cumplir esas desigualdades a la vez? El punto anterior implica que el ínfimo es en alguno de esos puntos? No me queda claro que para \( n=3 \) el ínfimo está en los puntos \( x_1=x_2=x_3=4 \) y no cumplen esas desigualdades.

Si. Me las comí. Como te dije:

En general todos los puntos donde se verifica que algún subconjunto de variables suma \( 1+n \).

En particular subconjuntos de una sola variable. Es decir:

\( x_1=4 \)
\( x_2=4 \)
\( x_3=4 \)
\( x_1+x_2=4 \)
\( x_1+x_3=4 \)
\( x_2+x_3=4 \)
\( x_1+x_2+x_3=4 \)

Cualquier tripleta \( (x_1,x_2,x_3) \) cumpliendo alguna de esas igualdades sería un punto de discontinuidad.

Saludos.

[Quema]

Y el ínfimo esta en los puntos de discontinuidades, puede probarse eso? Supongo que el punto anterior de crecimiento de la variable en los \( x_i \) ayude en algo.

[Luis Fuentes]

Hola

Y el ínfimo esta en los puntos de discontinuidades, puede probarse eso? Supongo que el punto anterior de crecimiento de la variable en los \( x_i \) ayude en algo.

Si, eso es inmediato del hecho de que en las zonas de continuidad la función sea creciente en \( x_i \).

Saludos.

[Quema]

Estoy pensando una prueba formal para \( n=3 \) usando esto de las hipersuperficies. Sin pérdidad de generalidad supongo que \( 1<x_1\leq{}x_2\leq{}x_3\leq{}1+n \)

Tenemos tres categorías:
a) \( x_1,x_2,x_3 \) iguales a 4.
b) \( x_1+x_2=4 \), \( x_1+x_3=4 \), \( x_2+x_3=4 \)
c) \( x_1+x_2+x_3=4 \)

Empiezo por el c). Si se cumple esta categoría entonces \( P(S_n<4)=1-\displaystyle\frac{1}{x_1x_2x_3} \). Para la categoría b) se pueden cumplir todas las desigualdades a la vez sys los \( x_i=2 \). Si se cumplen \( x_1+x_2=4 \) y  \( x_2+x_3=4 \) entonces también todos los \( x_i \) serán iguales a 2. Como los valores están ordenados de forma creciente, no pueden cumplirse dos igualdades y la otra no. Entonces, si \( x_2<x_3 \) supongamos que se cumple que \( x_1+x_2=4 \) sabemos entonces que \( x_1+x_3>4 \) y que \( x_2+x_3>4 \) por lo tanto \( P(Sn<4)\geq{}P(X_3<3.999)P(X1+X_2<4-3.999)=(1-1/x_1)(1-1/x_2)(1-x_3) \) Lo mismo ocurre con el resto de los casos. Está bien, no se si esto se puede generalizar o es verlo caso a caso. 

Capaz que así, para \( n=4 \) y la frontera que dos valores sumen 5.

\[
\text{Sea } (x_1,x_2,x_3,x_4) \text{ con } x_i > 1 \text{ y sean los pares } (i,j) \text{ y } (k,s) \text{ una partición de } \{1,2,3,4\}.
\]

\[
\text{Condición necesaria y suficiente:} \quad
\min(x_i,x_j) + \min(x_k,x_s) \ge 5
\]

\[
\text{Entonces existe } t \in [5 - \min(x_k,x_s),\ \min(x_i,x_j)] \text{ tal que}
\]

\[
\Pr(S_4<5) \ge \Pr(X_i+X_j < t)\,\Pr(X_k+X_s < 5-t) = \prod_{r=1}^{4} \left(1 - \frac{1}{x_r}\right).
\]

\[
\text{Posibles emparejamientos: } \{(1,2),(3,4)\},\ \{(1,3),(2,4)\},\ \{(1,4),(2,3)\}.
\]

\[
\text{Sea } (x_1,x_2,x_3,x_4) \text{ con } x_i > 1 \text{ y sea una tripleta } (i,j,k) \text{ dejando un singleton } s.
\]

\[
\text{Condición necesaria y suficiente:} \quad
\min(x_i,x_j,x_k) + x_s \ge 5
\]

\[
\text{Entonces existe } t \in [5 - x_s, \min(x_i,x_j,x_k)] \text{ tal que}
\]

\[
\Pr(S_4<5) \ge \Pr(X_i+X_j+X_k < t)\,\Pr(X_s < 5-t) = \prod_{r=1}^{4} \left(1 - \frac{1}{x_r}\right).
\]

\[
\text{Posibles tripletas (y el singleton correspondiente) para } n=4:
\{(1,2,3),4\},\ \{(1,2,4),3\},\ \{(1,3,4),2\},\ \{(2,3,4),1\}.
\]

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy pensando una prueba formal para \( n=3 \) usando esto de las hipersuperficies. Sin pérdidad de generalidad supongo que \( 1<x_1\leq{}x_2\leq{}x_3\leq{}1+n \)

Tenemos tres categorías:
a) \( x_1,x_2,x_3 \) iguales a 4.
b) \( x_1+x_2=4 \), \( x_1+x_3=4 \), \( x_2+x_3=4 \)
c) \( x_1+x_2+x_3=4 \)

Empiezo por el c). Si se cumple esta categoría entonces \( P(S_n<4)=1-\displaystyle\frac{1}{x_1x_2x_3} \). Para la categoría b) se pueden cumplir todas las desigualdades a la vez sys los \( x_i=2 \). Si se cumplen \( x_1+x_2=4 \) y  \( x_2+x_3=4 \) entonces también todos los \( x_i \) serán iguales a 2. Como los valores están ordenados de forma creciente, no pueden cumplirse dos igualdades y la otra no. Entonces, si \( x_2<x_3 \) supongamos que se cumple que \( x_1+x_2=4 \) sabemos entonces que \( x_1+x_3>4 \) y que \( x_2+x_3>4 \) por lo tanto \( P(Sn<4)\geq{}P(X_3<3.999)P(X1+X_2<4-3.999)=(1-1/x_1)(1-1/x_2)(1-x_3) \) Lo mismo ocurre con el resto de los casos. Está bien, no se si esto se puede generalizar o es verlo caso a caso. 

Capaz que así, para \( n=4 \) y la frontera que dos valores sumen 5.

\[
\text{Sea } (x_1,x_2,x_3,x_4) \text{ con } x_i > 1 \text{ y sean los pares } (i,j) \text{ y } (k,s) \text{ una partición de } \{1,2,3,4\}.
\]

\[
\text{Condición necesaria y suficiente:} \quad
\min(x_i,x_j) + \min(x_k,x_s) \ge 5
\]

\[
\text{Entonces existe } t \in [5 - \min(x_k,x_s),\ \min(x_i,x_j)] \text{ tal que}
\]

\[
\Pr(S_4<5) \ge \Pr(X_i+X_j < t)\,\Pr(X_k+X_s < 5-t) = \prod_{r=1}^{4} \left(1 - \frac{1}{x_r}\right).
\]

\[
\text{Posibles emparejamientos: } \{(1,2),(3,4)\},\ \{(1,3),(2,4)\},\ \{(1,4),(2,3)\}.
\]

\[
\text{Sea } (x_1,x_2,x_3,x_4) \text{ con } x_i > 1 \text{ y sea una tripleta } (i,j,k) \text{ dejando un singleton } s.
\]

\[
\text{Condición necesaria y suficiente:} \quad
\min(x_i,x_j,x_k) + x_s \ge 5
\]

\[
\text{Entonces existe } t \in [5 - x_s, \min(x_i,x_j,x_k)] \text{ tal que}
\]

\[
\Pr(S_4<5) \ge \Pr(X_i+X_j+X_k < t)\,\Pr(X_s < 5-t) = \prod_{r=1}^{4} \left(1 - \frac{1}{x_r}\right).
\]

\[
\text{Posibles tripletas (y el singleton correspondiente) para } n=4:
\{(1,2,3),4\},\ \{(1,2,4),3\},\ \{(1,3,4),2\},\ \{(2,3,4),1\}.
\]

 Sin entrar en analizarlo en detalle, no estoy seguro de a donde se quiere llegar a parar con esto. Cierto que considerando las variables ordenadas se reduce ligeramente la causística; pero no esencialmente. Es decir igualmente a medida que crece \( n \) el número de casos a considerar va a aumentar.

Saludos.