Hola a todos,
Supongamos que \( x^3+y^3+z^3=0 \) , para \( x,y,z \) enteros -y- coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( xyz \) ; puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , tendremos que la suma \( x^3+y^3+z^3 \pmod 9 \) daría como posibles resultados \( \pm 1, \pm 3 \) , pero nunca \( 0 \) . Lo que no puede ser.
Luego \( 3 \) debe dividir á \( xyz \) . Y no perdemos generalidad si suponemos que \( 3^k \) , para \( k\in{\mathbb{N^+}} \) , divide á \( x \) -y- que \( x^3+y^3+z^3=0+1-1 \) (mod \( 3 \)).
Con estas condiciones, reescribimos la ecuación como: \( -z^3=x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy) \) . Tendremos además que:
\( -x^3=y^3+z^3=(y+z)((y+z)^2-3yz) \)
\( -y^3=x^3+z^3=(x+z)((x+z)^2-3xz) \)
Como \( 3^{3k} \) divide á \( -x^3 \) , entonces \( y+z\equiv 0 \) (mod 9) ; \( x+z \) es un cubo y será congruente con \( -1 \) módulo \( 9 \) -y- \( x+y \) es también un cubo y por tanto es congruente con \( 1 \) módulo \( 9 \) .
Por esta identidad: \( (y+z)-(x+y)-(x+z)=-2x \) , módulo \( 9 \) , hace que \( (0)-(1)-(-1)\equiv -2x=0 \) (mod 9). Entonces \( 9 \) divide á \( x \) -y- por tanto \( y\equiv 1 \) (mod 9) -y- \( z\equiv -1 \) (mod 9).
Para trabajar con esta ecuación \( -z^3=x^3+y^3 \) , primero nos trasladaremos al anillo de los enteros de Eisenstein, \( \mathbb{Z}[\zeta_3] \) , donde \( \zeta_3=e^{i2\pi/3} \) es la raíz cúbica primitiva de la unidad. En este anillo, el lado derecho se puede factorizar: \( -z^3=(x+y)(x+y\zeta_3)(x+y\zeta^2_3) \) .
Pero como veremos más adelante, para el análisis de las unidades, es necesario trabajar en un anillo más grande: el de los enteros ciclotómicos de orden 9, \( \mathbb{Z}[\zeta_9] \) . La conexión clave es la identidad \( \zeta_3 = \zeta_9^3 \) , donde \( \zeta_9=e^{i2\pi/9} \) es la raíz novena primitiva de la unidad. La factorización se reescribe entonces como: \( -z^3=(x+y)(x+y\zeta^3_9)(x+y\zeta^6_9) \) . Conocemos además que el anillo \( \mathbb{Z}[\zeta_9] \) , al igual que el anillo \( \mathbb{Z}[\zeta_3] \) , es un Dominio de Factorización Única.
Los tres factores de la derecha son coprimos entre sí. Para justificarlo, nótese que el único ideal primo que podría dividirlos a todos es \( \mathfrak{p}=(1-\zeta_3) \) . Sin embargo, bajo las condiciónes de que \( 3|x \) y \( 3 \nmid y \) ; la suma \( x+y \equiv 0+y \equiv y \not\equiv 0 \pmod{\mathfrak{p}} \) . Como \( \mathfrak{p} \) no divide a \( x+y \) , no es un divisor común. Cualquier otro divisor común debería dividir a \( x \) -y- a \( y \) , pero son coprimos, así que los factores también lo son. De esta manera, como todo el producto es igual á \( -z^3 \) , cada factor debe ser un cubo perfecto salvo unidades.
Luego \( x+y = u_1 \cdot a^3 \), para algún entero usual \( a \) y la unidad \( u_1=\pm 1 \) -y- \( x+y\zeta_9^3 = u_2 \cdot \alpha^3 \), para algún \( \alpha \in \mathbb{Z}[\zeta_9] \) y la unidad \( u_2 \).
A continuación, usamos la identidad algebraica:
\( (x+y\zeta_9^3) - (x+y) = y(\zeta_9^3-1) \)
Sustituyendo las expresiones anteriores, llegamos a la ecuación central de nuestra demostración:
\( y(\zeta^3_9-1)=u_2\cdot\alpha^3-a^3 \)
(si suponemos que \( u_1=1 \))
El anillo \( \mathbb{Z}[\zeta_9] \) posee infinitas unidades. Por una parte las llamadas Raíces de la Unidad, que son las 18 potencias de \( \pm\zeta_9 \) : \( \pm 1 , \pm\zeta_9 , \pm\zeta^2_9 ,\,...\,,\pm\zeta^8_9 \) . Y por otra parte las llamadas Unidades Fundamentales, que son infinitas y que el
Teorema de Dirichlet nos dice que se pueden generar de la siguiente forma: \( u=(\pm\zeta_9^k)\cdot\epsilon_1^m\cdot\epsilon_2^n \) , donde k,m,n son enteros y \( \epsilon_1 , \epsilon_2 \) son números reales bastante complejos.
Pero la ecuación que vamos a analizar: \( x+y\zeta^3_9=u_2\cdot\alpha^3 \) , impone un filtro estricto. Analicemos la congruencia módulo 9. Conocemos
(Keith Conrad) (este va a ser el resultado fundamental del cual se deriva directamente la congruencia más fuerte que utilizamos), que el cubo de cualquier elemento \( \alpha \in \mathbb{Z}[\zeta_9] \) (no divisible por el ideal primo sobre 3) es congruente con \( \pm 1 \pmod 9 \) . Esto es posible debido a la forma especial en que el primo 3 se ramifica en este anillo (\( (3)=(1-\zeta_9)^6 \)) . Esta fuerte ramificación permite 'elevar' la congruencia básica \( \alpha \equiv k \pmod{\mathfrak{p}} \) a una mucho más potente: \( \alpha \equiv k \pmod 3 \) para un entero \( k \) no divisible por 3. A partir de ahí, podemos escribir \( \alpha = k+3\beta \) -y- al expandir el cubo, \( \alpha^3 = (k+3\beta)^3 = k^3 + 9(k^2\beta + ...) \) , se ve claramente cómo los 'términos cruzados' son múltiplos de 9. Esto demuestra la congruencia \( \alpha^3 \equiv k^3 \pmod 9 \) , y como \( k \) es un entero, sabemos que \( k^3 \equiv \pm 1 \pmod 9 \) .
De esta manera, la ecuación \( x+y\zeta_9^3 = u_2 \cdot \alpha^3 \) se convierte en: \( x+y\zeta^3_9\equiv\pm u_2 \) (mod 9) -y- usando las condiciones que vimos al principio: \( x \equiv 0 \) (mod 9) -y- \( y \equiv 1 \) (mod 9) , tendremos que \( 0+1\cdot\zeta^3_9\equiv\pm u_2 \) (mod 9) \( \Rightarrow \) \( \zeta^3_9\equiv\pm u_2 \) (mod 9). El lado izquierdo, \( \zeta_9^3 \) , es un entero de Eisenstein. Esto fuerza a que la unidad \( u_2 \) también deba ser un entero de Eisenstein (módulo 9). Las únicas unidades en \( \mathbb{Z}[\zeta_9] \) que son enteros de Eisenstein son aquellas raíces de la unidad donde \( k \) es un múltiplo de 3. Por tanto, \( u_2 \) debe ser de la forma \( \pm(\zeta_9^3)^j \) , en concreto: \( \{\pm 1, \pm\zeta_9^3, \pm\zeta_9^6\} \) . Y la congruencia \( \zeta_9^3 \equiv \pm u_2 \pmod 9 \) solo se satisfacerá, por tanto, si exactamente \( u_2 = \pm \zeta_9^3 \).
Con las unidades ya fijadas, la ecuación central queda: \( y(\zeta^3_9-1)=\pm\zeta^3_9\cdot\alpha^3-a^3 \) . Esta expresión se puede reescribir para factorizarla como una diferencia de cubos. Sea \( \alpha' = \pm\zeta_9\alpha \). Entonces \( (\alpha')^3 = (\pm\zeta_9\alpha)^3 = \pm\zeta_9^3\alpha^3 \). La ecuación queda: \( y(\zeta^3_9-1)=(\alpha')^3-a^3 \) . Y el lado derecho es una diferencia de cubos que podemos factorizar: \( y(\zeta^3_9-1)=(\alpha'-a)((\alpha'-a)^2+3a\alpha') \) .
El final de la prueba consiste en contar las potencias del ideal primo \( \mathfrak{p}=(1-\zeta_9) \) en cada lado de la ecuación. Este ideal es el único factor primo de 3 en \( \mathbb{Z}[\zeta_9] \) , ya que en este anillo \( (3)=(1-\zeta_9)^6 \) .
Análisis del Lado Izquierdo: \( y(\zeta_9^3-1) \) .
El término \( \zeta_9^3-1 \) se factoriza como \( (\zeta_9-1)(\zeta_9^2+\zeta_9+1) \) . El segundo factor, \( (\zeta_9^2+\zeta_9+1) \) , es una unidad en \( \mathbb{Z}[\zeta_9] \) . Por tanto, \( \zeta_9^3-1 \) es un asociado del ideal primo \( \mathfrak{p}=(1-\zeta_9) \) y su valoración es exactamente 1 -y- dado que \( 3 \nmid y \) , sabemos que \( \mathfrak{p} \nmid y \) . Por consiguiente, la valoración final del producto \( y(\zeta_9^3-1) \) es
1 .
Análisis del Lado Derecho: \( (\alpha'-a)((\alpha'-a)^2+3a\alpha') \) .
La propia ecuación nos fuerza a que \( \alpha' \equiv a \pmod{\mathfrak{p}} \) , donde \( \mathfrak{p}=(1-\zeta_9) \) . Por tanto, el factor \( (\alpha'-a) \) es divisible por \( \mathfrak{p} \) una vez. El segundo factor, \( ((\alpha'-a)^2+3a\alpha') \) , es divisible por \( \mathfrak{p}^2 \) porque ambos sumandos lo son: \( (\alpha'-a)^2 \) es divisible por \( \mathfrak{p}^2 \) -y- \( 3 \) es divisible por \( \mathfrak{p}^6 \) . La valoración total del lado derecho será, por tanto, como mínimo de \( 1+2=\pmb{3} \) .
Por consiguiente, llegamos a una contradicción fundamental en la divisibilidad de los enteros ciclotómicos. La igualdad es imposible y la suposición inicial de que existía una solución entera no trivial de \( x^3+y^3+z^3=0 \) debe ser falsa.
Un saludo,
Fernando Moreno
(Este intento de demostración ha sido repasado con GÉMINI 2.5 Pro)
